Path: ...!eternal-september.org!reader01.eternal-september.org!.POSTED!not-for-mail
From: Python <python@invalid.org>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: 0!=1 ?
Date: Wed, 15 Mar 2023 09:27:16 +0100
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 40
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Injection-Date: Wed, 15 Mar 2023 08:27:17 -0000 (UTC)
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In-Reply-To: <turdrh$naru$1@dont-email.me>
Content-Language: en-US
Bytes: 2519

Le 15/03/2023 à 04:25, Dominique a écrit :
> Bonjour,
> 
> Pourquoi, par convention, 0!=1 ? Pour moi, 0x0=0... Et puisque nous en 
> sommes là, pourquoi 0^0=1 aussi ? J'ai la sensation que zéro puissance 
> zéro est comme 0!...
> 
> Il me faut confesser mon âge (65 ans) et mon BEPC pour seul diplôme 
> scolaire...
> 
> Ma question vient d'une petite énigme Python, notamment trouver deux 
> nombres dont la somme de la factorielle de tous ses chiffres était égal 
> à ces nombres.
> 
> Ça marche avec 145=1+4*3*2+5*4*3*2
> 
> Ça marche aussi avec 40585, sauf que je n'ai pas réussi à le trouver. En 
> effet, 4*3*2+5*4*3*2*2+8*7*6*5*4*3*2=40584. Mais c'est normal, j'avais 
> omis ce 0!=1, convention que je ne connaissais pas... Donc, j'ai échoué 
> à cette énigme (je m'en remettrai). Mais ma question reste pleine et 
> entière : pourquoi 0!=0^0=1 ?

Il y a des justification d'ordre analytique comme d'autres réponses
l'ont indiqué. Il y en a aussi d'ordre combinatoire.

n! est le nombre de permutation d'un ensemble de cardinal n.
par exemple 2!=2 ; il y a effectivement deux fonctions bijective
de {a,b} vers {a,b} à savoir { (a,a), (b,b) } (l'identité) et
{ (a,b), (b,a) }

O! vu comme le nombre de permutation de l'ensemble vide, il
n'y a qu'une : la fonction de {} -> {} qui est {}, donc
0!=1

a^b est le nombre d'applications d'un ensemble de cardinal
b vers un ensemble de cardinal a, on arrive à la même conclusion
que 0^0 = 1 de façon similaire.