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From: efji <efji@efi.efji>
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Date: Sat, 22 Apr 2023 10:26:57 +0200
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Le 22/04/2023 à 07:46, jdanield a écrit :
> Sais-tu faire le calcul à la main? Si tu avais une calculatrice haut de 
> gamme, par exemple une HP48C d'il y a 20 ans (ou n'importe quelle autre 
> plus moderne), comment ferais-tu pour résoudre le problème?

ChatGPT est un bien meilleur vulgarisateur que moi :

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Navier-Stokes:

Les équations de Navier-Stokes décrivent le comportement des fluides, 
tels que l'eau ou l'air, en mouvement. Elles sont basées sur la 
conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie.

Ces équations sont des équations différentielles non-linéaires, ce qui 
signifie qu'il n'existe pas de solution analytique générale pour toutes 
les situations. Cependant, des solutions numériques peuvent être 
trouvées en utilisant des méthodes informatiques.

L'une des méthodes les plus couramment utilisées pour résoudre les 
équations de Navier-Stokes est la méthode des éléments finis. Cette 
méthode consiste à diviser le domaine fluide en petites zones, appelées 
éléments finis, et à résoudre les équations de Navier-Stokes pour chaque 
élément fini. Les résultats sont ensuite combinés pour fournir une 
solution complète pour tout le domaine fluide.

D'autres méthodes numériques, telles que la méthode des volumes finis et 
la méthode des différences finies, peuvent également être utilisées pour 
résoudre les équations de Navier-Stokes.

Cependant, la résolution des équations de Navier-Stokes est un problème 
complexe et coûteux en calcul, et nécessite souvent l'utilisation de 
supercalculateurs pour obtenir des résultats précis pour des situations 
réalistes.
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Elements finis:

La méthode des éléments finis est une technique de calcul numérique 
utilisée pour résoudre des problèmes mathématiques complexes, tels que 
les équations différentielles. Cette méthode est très utilisée dans de 
nombreux domaines scientifiques et industriels, comme l'ingénierie, la 
mécanique, l'aéronautique, etc.

Le principe de la méthode des éléments finis consiste à diviser un 
problème complexe en petits éléments simples, appelés éléments finis. 
Ces éléments sont généralement des triangles ou des quadrilatères pour 
les problèmes en deux dimensions, ou des tétraèdres ou des hexaèdres 
pour les problèmes en trois dimensions.

Chaque élément fini est défini par un ensemble de nœuds, qui sont des 
points où les valeurs inconnues du problème (par exemple, la pression ou 
la vitesse d'un fluide) doivent être déterminées. En connectant les 
nœuds, on obtient un maillage, qui représente l'ensemble du domaine où 
se produit le problème.

Pour résoudre le problème, la méthode des éléments finis utilise une 
technique de projection des équations mathématiques sur les éléments 
finis. Cette technique consiste à approximer la solution inconnue de 
chaque élément fini par une combinaison linéaire de fonctions simples, 
appelées fonctions d'interpolation. Ces fonctions sont choisies de 
manière à satisfaire les conditions aux limites du problème.

Une fois que les équations sont projetées sur chaque élément fini, elles 
peuvent être assemblées pour former un système d'équations linéaires 
globales, qui peut être résolu numériquement pour obtenir la solution 
complète du problème.

La méthode des éléments finis est une méthode très flexible et efficace, 
car elle permet de résoudre des problèmes complexes avec une précision 
élevée, tout en utilisant des ordinateurs pour effectuer les calculs. 
Elle est également largement utilisée dans les domaines de la simulation 
numérique et de l'optimisation, pour concevoir et optimiser des produits 
et des processus.
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Volumes finis:

La méthode des volumes finis est une technique numérique utilisée pour 
résoudre des équations différentielles qui décrivent le comportement des 
fluides, des gaz ou d'autres phénomènes physiques. Elle est largement 
utilisée dans les domaines de l'ingénierie, de la mécanique des fluides, 
de la météorologie, de la géologie et de nombreux autres domaines 
scientifiques et industriels.

Le principe de la méthode des volumes finis est de diviser l'espace en 
petits volumes de contrôle, appelés cellules. Dans chaque cellule, on 
approxime la solution inconnue de l'équation différentielle par une 
valeur moyenne. Les flux de matière, d'énergie ou de quantité de 
mouvement à travers les frontières de chaque cellule sont ensuite 
calculés en utilisant des lois de conservation appropriées.

En d'autres termes, on considère les flux entrants et sortants dans 
chaque cellule, puis on applique les principes de conservation pour 
déterminer la variation de la quantité inconnue à l'intérieur de la 
cellule. Les équations obtenues pour chaque cellule sont ensuite 
assemblées pour former un système d'équations différentielles pour le 
domaine entier.

Les avantages de la méthode des volumes finis sont sa capacité à gérer 
des géométries complexes, à prendre en compte des conditions aux limites 
non uniformes et à garantir la conservation des quantités physiques dans 
chaque cellule. Elle est également bien adaptée à la simulation de 
fluides compressibles et incompressibles, de gaz, de fluides à haute 
vitesse et d'autres phénomènes physiques.

La méthode des volumes finis est largement utilisée dans les logiciels 
de simulation numérique et de modélisation pour la conception et 
l'optimisation de systèmes physiques. Cependant, elle nécessite une 
puissance de calcul importante pour traiter de grandes quantités de 
données et obtenir des résultats précis.

-- 
F.J.