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Path: ...!news.mixmin.net!weretis.net!feeder8.news.weretis.net!news.nntp4.net!news.gegeweb.eu!gegeweb.org!usenet-fr.net!.POSTED!not-for-mail From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net> Newsgroups: fr.sci.maths Subject: Re: Factorisation x^4 + 4 Date: Mon, 15 May 2023 15:07:21 +0200 Organization: There's no cabale Lines: 41 Message-ID: <u3taqk$6il$1@cabale.usenet-fr.net> References: <6462222f$0$3096$426a74cc@news.free.fr> <6462226e$0$3096$426a74cc@news.free.fr> NNTP-Posting-Host: 200.89.28.93.rev.sfr.net Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1684156052 6741 93.28.89.200 (15 May 2023 13:07:32 GMT) X-Complaints-To: abuse@usenet-fr.net NNTP-Posting-Date: Mon, 15 May 2023 13:07:32 +0000 (UTC) User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:52.0) Gecko/20100101 Firefox/52.0 SeaMonkey/2.49.4 In-Reply-To: <6462226e$0$3096$426a74cc@news.free.fr> Bytes: 2181 Bonjour, Le 15/05/2023 14:15, ast a écrit : >> >> On a: x^4 + 1 = ((x+1)²+1)).((x-1)²-1) > > erreur > > x^4 + 1 = ((x+1)²+1)).((x-1)²+1) Corrigeons tout de suite la deuxième erreur, avec un 4 au lieu d'un 1 : x⁴ + 4 = ((x+1)²+1)).((x-1)²+1) J'ai trouvé ta question intéressante. Voici comment je viens de faire pour retrouver la réponse. Je cherche à résoudre x⁴ + 4 = 0, soit x⁴ = −4. Dans les nombres complexes, je trouve d'abord que x² = ±2i. En prenant encore une fois la racine carrée, je trouve x = ±1 ±i. <aparté> Note que c'est peut-être plus facile avec x⁴ = −4 = 4.e^(i.π). Il vient : x⁴ = (√2)⁴.e^(i.(π + 2.k.π)) x = √2.e^(i.(π/4 + k.π/2)) x = √2.e^(i.(π/4)).e^(i.k.π/2)) x = (1+i).i^k x = 1+i, −1+i, −1−i, 1−i </> Ayant trouvé toutes les racines complexes de -4, je peux écrire : x⁴ + 4 = (x + 1 + i)(x + 1 − i)(x − 1 + i)(x − 1 − i) x⁴ + 4 = ((x + 1) + i)((x + 1) − i).((x − 1) + i)((x − 1) − i) x⁴ + 4 = ((x + 1)² − i²).((x − 1)² − i²) x⁴ + 4 = ((x + 1)² + 1).((x − 1)² + 1) Cordialement, -- Olivier Miakinen