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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Exercice plus difficile que le niveau 6e
Date: Wed, 26 Jul 2023 16:56:03 +0200
Organization: There's no cabale
Lines: 75
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Le 26/07/2023 15:54, maixxx07 a écrit :
>>>>>
>>>>> Trouver un nombre A plus grand que 2000 pour lequel il existe deux nombres
>>>>> différents n1 et n2 qui, additionnés à la somme de leurs chiffres, donnent A.
>>>>
>>>> [...]
>> 
>> Il n'est pas très difficile de trouver un A plus grand que 2000 qui se décompose
>> de deux façons différentes à l'image du A = 107 donné en exemple ici.
>> 
>> Mais est-ce encore possible de /trois/ façons différentes, voire plus ?
>> 
>> 
> Ben A=1000x+100y+10z+t + x+Y+z+t
>       =1000x'+100y'+10z'+t'+x'+y'+z'+t'

Donc là tu te limites aux nombre de quatre chiffres, ce qui était requis dans
la question d'ast mais absolument pas dans la mienne.

Cela dit, pour la première partie de la question ça ne pose aucun problème car
il existe un grand nombre de possibilités avec quatre chiffres.

> donc
> 1001(x-x')+ 101(y-y')+11(z-z') +2(t-t')= 0
> avec x,y,z,t,x',y',z',t' <=9  zéro permis?

Oui, le zéro est permis.

> On choisit x>=x'
> Comme A > 2000 on a x=x' ou x=x'+1

Note que ce serait vrai aussi pour A < 2000. En revanche si x représente
le chiffre des milliers ce n'est plus forcément vrai pour un nombre avec
plus de 4 chiffres (wxyzt, ou vwxyzt, etc.)

> pour x=x' 101(y-y') +11(z-z') +2(t-t') =0
> si y=y'  11(z-z') +2(t-t') =0
>           +-11 ou +-22 et
>                    -+18 -+16 ..

À partir d'ici ce n'est plus très clair. Mais je ne suis peut-être pas assez
concentré.

>       z=z' t=t' n'est pas solution
> donc y=y'+-1 on choisit y=y'+1 (et pas +2..)
> 101 + 11(z-z') +2(t-t')=0
> z-z'= -9  z=0  z'=9 101-99 +2(t-t') =0
> t-t'= -1 t'=t+1
> 
> t=0 t'=1  t=1 t'=2 ...t=8 t'=9
> z=0 z'=9
> y=2 y'=1  y=3 y'=2 ...y=9 y'=8
> x=x'entre 2 et 9
> exemple  x=3 x'=3 y=4 y'=3 z=0 z'=9 t=2 t'=3
> 3402 et 3393 oh miracle 3402+3+4+2=3411 et
> 3393 +3+3+9+3 = 3411

Oui c'est bien l'une des nombreuses solutions.

> je vous laisse chercher pour x=x'+1 etc.
> J'espère ne pas m'être planté
> 
> Pour trois valeurs ça suppose qu'on en ait déjà deux.... ça suppose que si xyzt
> est connu x'y'z't' a plusieurs solutions.. voir le raisonnement ci dessus

Je suis déjà bien convaincu qu'il n'en existe pas si on se limite aux nombres
à 4 chiffres. Mais pour des nombres plus grands, peut-être à 20 chiffres ou à
100 chiffres, je ne sais pas encore.

> Pas trop dur à suivre ?

Un peu. ;-)

-- 
Olivier Miakinen