Path: ...!news.mixmin.net!proxad.net!feeder1-2.proxad.net!usenet-fr.net!.POSTED!not-for-mail From: Olivier Miakinen Newsgroups: fr.sci.maths Subject: =?UTF-8?Q?Re:_La_s=c3=a9rie_des_infinis?= Date: Wed, 27 Sep 2023 00:13:02 +0200 Organization: There's no cabale Lines: 64 Message-ID: References: <6513217a$0$7451$426a74cc@news.free.fr> NNTP-Posting-Host: 200.89.28.93.rev.sfr.net Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1695766382 20241 93.28.89.200 (26 Sep 2023 22:13:02 GMT) X-Complaints-To: abuse@usenet-fr.net NNTP-Posting-Date: Tue, 26 Sep 2023 22:13:02 +0000 (UTC) User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:52.0) Gecko/20100101 Firefox/52.0 SeaMonkey/2.49.4 In-Reply-To: <6513217a$0$7451$426a74cc@news.free.fr> Bytes: 3717 Le 26/09/2023 20:22, Samuel Devulder a écrit : > >> Ma question est un peu plus fondamentale que l'hypothèse du continu. J'aimerais >> savoir comment on peut prouver qu'il existe réellement un unique « aleph un » >> qui soit « le plus petit » infini strictement supérieur à aleph zéro, et plus >> généralement que pour un « aleph n » donné l'ensemble des infinis strictement >> plus grands que aleph n admette un plus petit élément appelé « aleph n+1 ». > > J'ai l'impression que ca revient à décider si les infinis sont > dénombrables ou pas. Non, pas forcément. Par exemple l'ensemble des rationnels strictement supérieurs à 0 est dénombrable, il est borné par 0, mais il n'a pas de plus petit élément. Il en va de même de l'ensemble des nombres de la forme 1/(2^n) pour n entier positif. Note que cet ensemble a même un plus grand élément mais pas de plus petit élément. Or, si l'on peut affirmer l'existence de « aleph (n+1) », c'est bien que l'ensemble des alephs strictement plus grands que « aleph n » possède un plus petit élément ! Voilà exactement ce qui me pose question : comment Cantor pouvait-il en être sûr, en comment tous les mathématiciens peuvent continuer à en être sûrs ? > [...] > > D'ailleurs pourquoi parle-ton d’hypothèse due *continu* alors qu'on ne > fait qu'envisager l'existence d'un infini (un seul!) entre aleph_0 et > aleph_1. ??? D'une part, il semble prouvé que la définition de aleph_1 est valide, c'est-à-dire qu'il n'existe *aucun* autre infini possible entre ce qu'on appelle aleph_0 et ce qu'on appelle aleph_1. D'autre part, l'hypothèse du continu est que « aleph_1 = 2^aleph_0 » c'est-à-dire qu'il n'existe aucun autre infini entre le cardinal de N (aleph_0) et le cardinal de R (2^aleph_0), mais sa négation ne dit absolument pas qu'il devrait exister un seul aleph entre les deux, c'est-à-dire que l'on aurait « 2^aleph_0 = aleph_2 » ! Sauf erreur de ma part, il pourrait même exister une infinité d'alephs entre aleph_0 et 2^aleph_0. En revanche il semble prouvé que cet ensemble, même s'il est infini, possède un plus petit élément : celui que l'on nomme aleph_1. Et c'est bien ma question : comment prouve-t-on ce résultat ? > Pourquoi un seul d'abord ? pourquoi pas 2, 3 ou une quantité > dénombrable entre les deux ? Et quid d'une quantité indénombrable entre > aleph_0 et aleph_1 ? Donc non, il y a zéro éléments entre aleph_0 et aleph_1, mais je ne crois pas que l'on rejette la possibilité d'une infinité d'éléments entre aleph_0 et 2^aleph_0. > Ca rejoint exactement tes interrogations. Euh... ben non, du coup. -- Olivier Miakinen