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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re:_La_s=c3=a9rie_des_infinis?=
Date: Wed, 27 Sep 2023 12:05:17 +0200
Organization: There's no cabale
Lines: 57
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References: <uev45r$ev5$1@cabale.usenet-fr.net>
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In-Reply-To: <6513cbe9$0$6450$426a34cc@news.free.fr>
Bytes: 3606

Le 27/09/2023 08:30, Samuel Devulder a écrit :
> Le 27/09/2023 à 00:13, Olivier Miakinen a écrit :
> 
>> D'une part, il semble prouvé que la définition de aleph_1 est valide,
>> c'est-à-dire qu'il n'existe *aucun* autre infini possible entre ce qu'on
>> appelle aleph_0 et ce qu'on appelle aleph_1.
> 
> Les Aleph sont donc indexables et pas infiniment proches les uns des 
> autres. Par contre je suis surpris que du dises solide.

Parce qu'il ne semble absolument pas mis en question qu'il existe un
aleph_1, un aleph_2, et ainsi de suite.

> C'est justement 
> l'hypothèse du continu qu'il n'en existe pas entre les deux, et c'est 
> indémontrable, non ?

Non, tu fais encore la même confusion entre aleph_1 (qui est le plus petit
infini strictment plus grand que aleph_0) et 2**aleph_0 (qui est le cardinal
de l'ensemble des réels).

L'hypothèse du continu, c'est qu'il n'existe aucun infini compris entre
aleph_0 et 2**aleph_0, ce qui revient à dire que 2**aleph_0 est égal à
aleph_1. C'est ça qui est indécidable.

En revanche, ce qui n'est du tout remis en question, c'est le fait de
l'existence même d'un aleph_1 (alors que par exemple il n'existe pas
de « réel_1 » qui serait le plus petit nombre réel strictement positif).

>> D'autre part, l'hypothèse du continu est que « aleph_1 = 2^aleph_0 »
>> c'est-à-dire qu'il n'existe aucun autre infini entre le cardinal de
>> N (aleph_0) et le cardinal de R (2^aleph_0),
> 
> Oui on parle de continu alors que les alephs sont indexables. Tu vois la 
> bizarrerie ?

Oui, le nom m'avait toujours paru bizarre aussi, mais il n'est pas question
de continuité dans la suite des alephs ! D'après ce que j'ai compris, il
s'agit de l'hypothèse que « l'ensemble des nombres continus » (qui est un
autre nom autrefois donné à ce que l'on appelle aujourd'hui « l'ensemble
des réels ») a comme cardinal aleph_1.

Autrement dit, « hypothèse du continu » est à prendre comme synonyme de
« hypothèse de l'ensemble ℝ ».

> C'est ptet moi qui trouve ca étrange car en l’occurrence 
> "continue" ici est juste le fait que le cardinal du continu (R) est 
> forcément celui "après" celui des entiers (N), là où le naïf que je suis 
> peut se demander si cela concernait le nombre d'infinis distincts entre 
> ces deux ensembles.

Ah, j'aurais dû lire ta dernière phrase avant de répondre, car tu dis exactement
la même chose ! Bon, je n'efface pas. :-)


-- 
Olivier Miakinen