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From: efji <efji@efi.efji>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Vitesse d'une moto autour d'un camion
Date: Sat, 7 Oct 2023 22:34:16 +0200
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 115
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References: <5cb27064-fa94-4526-8d56-320bf41ee455n@googlegroups.com>
 <ufr3k4$28q0v$1@dont-email.me>
 <8e18fc7d-eb5e-4119-896c-200229466d74n@googlegroups.com>
 <ufrurc$2f3st$1@dont-email.me>
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Injection-Date: Sat, 7 Oct 2023 20:34:17 -0000 (UTC)
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In-Reply-To: <980f83d7-5c27-434b-908b-4f169528242dn@googlegroups.com>
Content-Language: fr, en-US
Bytes: 6634

Le 07/10/2023 à 22:13, Yanick Toutain a écrit :
> Le samedi 7 octobre 2023 à 17:52:14 UTC+2, efji a écrit :
>> Le 07/10/2023 à 16:24, Yanick Toutain a écrit :
>>> Le samedi 7 octobre 2023 à 10:07:37 UTC+2, efji a écrit :
>>>> Le 06/10/2023 à 22:40, Yanick Toutain a écrit :
>>>>> Pendant 10h le passager d'un camion voit une moto tourner autour du camion.
>>>>> Il calcule que la vitesse de révolution de la moto est
>>>>> v = 1 km/h
>>>>> Seulement voilà, le camion n'est pas immobile. Pendant ces dix heures, il a roulé à une vitesse
>>>>> S = 100 km/h
>>>>> La question est (bien évidemment par rapport à la route)
>>>>> quelle est la longueur du trajet de la moto.
>>>>> Et donc quelle a été T la vitesse moyenne de la moto.
>>>>> Et donc quelle est la valeur de T - S (en fonction de S et de v)
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>> Question subsidiaire : Est-ce que la formule approximative donnant le résultat et/ou la démonstration rigoureuse apparaissent quelque part dans un ouvrage de physique depuis 3 siècles ?
>>>>>
>>>>> ChatGPT vient de corriger la démonstration de Bard.
>>>>> Je les publierai quand d'éminents mathématiciens auront posé leurs lumières sur ce trivial exercice (dont les conséquences en physique seront gigantissimes)
>>>>>
>>>>> confer problème idem en fr.sci.physique il y a deux mois.
>>>>> Sans réponse sérieuse.
>>>>> https://groups.google.com/g/fr.sci.physique/c/PkjZXe9y2FQ
>>>> Il manque un paramètre : le rayon r du cercle que décrit la moto dans le
>>>> référentiel du camion. Ensuite on écrit facilement avec une intégrale la
>>>> longueur du chemin décrit par la moto dans le référentiel de la route,
>>>> mais cette intégrale n'est pas calculable explicitement car elle est de
>>>> la forme \int \sqrt{a+b\sin(t)} dt
>>>> avec a différent de b.
>>>>
>>>> On peut en faire un développement limité car a>>b et on obtient la
>>>> solution développée en fonction de vr^2/S << 1.
>>>>
>>>> Un petit exercice de math sup pas très difficile.
>>>>
>>>> -- 
>>>> F.J.
>>> Merci de participer.
>>> Il ne manque aucun paramètre et c'est là une des principales subtilités du problème.
>>> Mais vous pouvez évidemment choisir arbitrairement un rayon (par exemple r = 10 (m) pour homogénéiser avec les réponses d'autres souhaitant absolument avoir un tel rayon. Vous en choisirez un autre r2= 20 m pour comparer vos résultats)
>>> Cela fait des années que je le pose à des "vrais" gens bac+x qui ne le trouvent pas "pas difficile "
>>> Seuls Bard puis ChatGPT (après des heures d'explication de ma part) ont trouvé le bon résultat avec une démonstration qui me semble ne pas contenir de bug logique
>> Exact pour r. J'avais fait une petite erreur de calcul dès le début dans
>> la vitesse angulaire :)
>>
>> Donc finalement la réponse est S, tous calculs faits. C'est troublant au
>> premier abord, mais on comprend très vite ce qui se passe : si la route
>> est selon x, la moyenne de la composante en y de la vitesse de la moto
>> est évidemment 0 et la moyenne de la vitesse selon x est aussi
>> évidemment S. Attention ces deux moyennes des composantes de la vitesse
>> ne prouvent pas le résultat : en effet imaginons un objet sur une
>> glissière fixée au pare-choc (donc qui suit le mouvement du camion en x)
>> et qui oscille de droite à gauche selon y, on aurait les mêmes moyennes
>> que dans le cas de l'orbite circulaire mais une vitesse moyenne globale
>> différente de S, probablement \sqrt{S^2+v^2}. C'est le mouvement
>> circulaire de la moto dans le référentiel du camion qui donne ce
>> résultat étonnant.
>>
>> -- 
>> F.J.
> 
> Supposez une fuite d'huile avec une goutte qui tombe sur la route tous les 10 mètres.


> Quel serait le tracé des gouttes pour la moto ?

Il ne faut pas parler de mètres mais de secondes !
Le tracé de la trajectoire est une petite ondulation autour le la 
droite, d'équation (ici on a besoin du rayon r !)

x(t) = St + r \cos(\theta't)
y(y) = r \sin(\theta't)

\theta' = 2\pi v/r


> Ou encore, imaginez la consommation totale d'essence.
> Supposez-vous que la moto aura consommé autant que le camion ?
> (on suppose L litres au 100 pour les deux)
> 
> Il y a en effet des "raccourcis mathématiques" conceptuels qui donnent des résultats (faux) étranges.
> Encore une fois c'est l'intérêt de ce problème.
>   Je n'ai jamais trouvé trace de la formule du résultat final (T vitesse moyenne de la moto)  pour v bien plus petit que S
> T = S + ?

Si on moyenne sur un nombre entier de rotations (et de nouveau ici on a 
besoin de r), le terme du premier ordre tombe car on a en facteur
\int \sin(\theta't) dt = 0

Donc on a

T = S + C (v/S)^2 + o((v/S)^3)

le terme suivant est d'ordre 4 (d'où le "o") car de nouveau le terme en 
\int \sin(\theta't)^3 dt = 0 si on moyenne sur un nombre entier de périodes.

> La formule donnant T je ne l'ai jamais vue nul part ailleurs que dans mes propres calcul.

Ne vous surestimez pas, c'est à la portée de tout étudiant correct en 
math sup :)

> Les AI IA Bard et ChatGPT ne la connaissent pas dans leurs archives.

Elles ne peuvent pas (encore) inventer des choses pareilles, sauf si on 
les aide un peu.

> Ils n'ont aucune idée de QUI aurait bien pu faire de tels recherches.

"recherches" :)

-- 
F.J.