Path: ...!feeds.phibee-telecom.net!news.mixmin.net!eternal-september.org!news.eternal-september.org!.POSTED!not-for-mail From: efji Newsgroups: fr.sci.maths Subject: Re: Vitesse d'une moto autour d'un camion Date: Sun, 8 Oct 2023 10:34:22 +0200 Organization: A noiseless patient Spider Lines: 120 Message-ID: References: <5cb27064-fa94-4526-8d56-320bf41ee455n@googlegroups.com> <8e18fc7d-eb5e-4119-896c-200229466d74n@googlegroups.com> <980f83d7-5c27-434b-908b-4f169528242dn@googlegroups.com> MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Injection-Date: Sun, 8 Oct 2023 08:34:23 -0000 (UTC) Injection-Info: dont-email.me; posting-host="a91934e11d8456fffda28962194c1b48"; logging-data="3153715"; mail-complaints-to="abuse@eternal-september.org"; posting-account="U2FsdGVkX1/n6CfmEqIN3+8KWy40d2L4" User-Agent: Mozilla Thunderbird Cancel-Lock: sha1:FLM402INMUtvmx2p5NSmCyzHsN4= Content-Language: fr, en-US In-Reply-To: Bytes: 7442 Le 07/10/2023 à 22:38, Yanick Toutain a écrit : > Le samedi 7 octobre 2023 à 22:34:19 UTC+2, efji a écrit : >> Le 07/10/2023 à 22:13, Yanick Toutain a écrit : >>> Le samedi 7 octobre 2023 à 17:52:14 UTC+2, efji a écrit : >>>> Le 07/10/2023 à 16:24, Yanick Toutain a écrit : >>>>> Le samedi 7 octobre 2023 à 10:07:37 UTC+2, efji a écrit : >>>>>> Le 06/10/2023 à 22:40, Yanick Toutain a écrit : >>>>>>> Pendant 10h le passager d'un camion voit une moto tourner autour du camion. >>>>>>> Il calcule que la vitesse de révolution de la moto est >>>>>>> v = 1 km/h >>>>>>> Seulement voilà, le camion n'est pas immobile. Pendant ces dix heures, il a roulé à une vitesse >>>>>>> S = 100 km/h >>>>>>> La question est (bien évidemment par rapport à la route) >>>>>>> quelle est la longueur du trajet de la moto. >>>>>>> Et donc quelle a été T la vitesse moyenne de la moto. >>>>>>> Et donc quelle est la valeur de T - S (en fonction de S et de v) >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> Question subsidiaire : Est-ce que la formule approximative donnant le résultat et/ou la démonstration rigoureuse apparaissent quelque part dans un ouvrage de physique depuis 3 siècles ? >>>>>>> >>>>>>> ChatGPT vient de corriger la démonstration de Bard. >>>>>>> Je les publierai quand d'éminents mathématiciens auront posé leurs lumières sur ce trivial exercice (dont les conséquences en physique seront gigantissimes) >>>>>>> >>>>>>> confer problème idem en fr.sci.physique il y a deux mois. >>>>>>> Sans réponse sérieuse. >>>>>>> https://groups.google.com/g/fr.sci.physique/c/PkjZXe9y2FQ >>>>>> Il manque un paramètre : le rayon r du cercle que décrit la moto dans le >>>>>> référentiel du camion. Ensuite on écrit facilement avec une intégrale la >>>>>> longueur du chemin décrit par la moto dans le référentiel de la route, >>>>>> mais cette intégrale n'est pas calculable explicitement car elle est de >>>>>> la forme \int \sqrt{a+b\sin(t)} dt >>>>>> avec a différent de b. >>>>>> >>>>>> On peut en faire un développement limité car a>>b et on obtient la >>>>>> solution développée en fonction de vr^2/S << 1. >>>>>> >>>>>> Un petit exercice de math sup pas très difficile. >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> F.J. >>>>> Merci de participer. >>>>> Il ne manque aucun paramètre et c'est là une des principales subtilités du problème. >>>>> Mais vous pouvez évidemment choisir arbitrairement un rayon (par exemple r = 10 (m) pour homogénéiser avec les réponses d'autres souhaitant absolument avoir un tel rayon. Vous en choisirez un autre r2= 20 m pour comparer vos résultats) >>>>> Cela fait des années que je le pose à des "vrais" gens bac+x qui ne le trouvent pas "pas difficile " >>>>> Seuls Bard puis ChatGPT (après des heures d'explication de ma part) ont trouvé le bon résultat avec une démonstration qui me semble ne pas contenir de bug logique >>>> Exact pour r. J'avais fait une petite erreur de calcul dès le début dans >>>> la vitesse angulaire :) >>>> >>>> Donc finalement la réponse est S, tous calculs faits. C'est troublant au >>>> premier abord, mais on comprend très vite ce qui se passe : si la route >>>> est selon x, la moyenne de la composante en y de la vitesse de la moto >>>> est évidemment 0 et la moyenne de la vitesse selon x est aussi >>>> évidemment S. Attention ces deux moyennes des composantes de la vitesse >>>> ne prouvent pas le résultat : en effet imaginons un objet sur une >>>> glissière fixée au pare-choc (donc qui suit le mouvement du camion en x) >>>> et qui oscille de droite à gauche selon y, on aurait les mêmes moyennes >>>> que dans le cas de l'orbite circulaire mais une vitesse moyenne globale >>>> différente de S, probablement \sqrt{S^2+v^2}. C'est le mouvement >>>> circulaire de la moto dans le référentiel du camion qui donne ce >>>> résultat étonnant. >>>> >>>> -- >>>> F.J. >>> >>> Supposez une fuite d'huile avec une goutte qui tombe sur la route tous les 10 mètres. >> >> >>> Quel serait le tracé des gouttes pour la moto ? >> Il ne faut pas parler de mètres mais de secondes ! >> Le tracé de la trajectoire est une petite ondulation autour le la >> droite, d'équation (ici on a besoin du rayon r !) >> >> x(t) = St + r \cos(\theta't) >> y(y) = r \sin(\theta't) >> >> \theta' = 2\pi v/r >>> Ou encore, imaginez la consommation totale d'essence. >>> Supposez-vous que la moto aura consommé autant que le camion ? >>> (on suppose L litres au 100 pour les deux) >>> >>> Il y a en effet des "raccourcis mathématiques" conceptuels qui donnent des résultats (faux) étranges. >>> Encore une fois c'est l'intérêt de ce problème. >>> Je n'ai jamais trouvé trace de la formule du résultat final (T vitesse moyenne de la moto) pour v bien plus petit que S >>> T = S + ? >> Si on moyenne sur un nombre entier de rotations (et de nouveau ici on a >> besoin de r), le terme du premier ordre tombe car on a en facteur >> \int \sin(\theta't) dt = 0 >> >> Donc on a >> >> T = S + C (v/S)^2 + o((v/S)^3) >> >> le terme suivant est d'ordre 4 (d'où le "o") car de nouveau le terme en >> \int \sin(\theta't)^3 dt = 0 si on moyenne sur un nombre entier de périodes. >>> La formule donnant T je ne l'ai jamais vue nul part ailleurs que dans mes propres calcul. >> Ne vous surestimez pas, c'est à la portée de tout étudiant correct en >> math sup :) >>> Les AI IA Bard et ChatGPT ne la connaissent pas dans leurs archives. >> Elles ne peuvent pas (encore) inventer des choses pareilles, sauf si on >> les aide un peu. >>> Ils n'ont aucune idée de QUI aurait bien pu faire de tels recherches. >> "recherches" :) >> >> -- >> F.J. > Vous annoncez quelle vitesse ? Et quelle longueur supplémentaire parcourue par la moto ? > T = S + C (v/S)^2 + o((v/S)^3) Si on calcule sur une période de révolution de la moto tau on obtient avec vos notations (T est une bien mauvaise notation pour une vitesse moyenne) : T = S + 3\pi^2 S (v/S)^2 + S O((v/S)^4) et donc la longueur parcourue par la moto sera T*tau -- F.J.