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From: efji <efji@efi.efji>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Vitesse d'une moto autour d'un camion
Date: Sun, 8 Oct 2023 16:20:52 +0200
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 160
Message-ID: <ufuds4$34v77$1@dont-email.me>
References: <5cb27064-fa94-4526-8d56-320bf41ee455n@googlegroups.com>
 <ufr3k4$28q0v$1@dont-email.me>
 <8e18fc7d-eb5e-4119-896c-200229466d74n@googlegroups.com>
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Injection-Date: Sun, 8 Oct 2023 14:20:52 -0000 (UTC)
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In-Reply-To: <05310a5f-a1e0-4db7-aacd-82500419ab9en@googlegroups.com>
Bytes: 9109

Le 08/10/2023 à 13:30, Yanick Toutain a écrit :
> Le dimanche 8 octobre 2023 à 10:34:25 UTC+2, efji a écrit :
>> Le 07/10/2023 à 22:38, Yanick Toutain a écrit :
>>> Le samedi 7 octobre 2023 à 22:34:19 UTC+2, efji a écrit :
>>>> Le 07/10/2023 à 22:13, Yanick Toutain a écrit :
>>>>> Le samedi 7 octobre 2023 à 17:52:14 UTC+2, efji a écrit :
>>>>>> Le 07/10/2023 à 16:24, Yanick Toutain a écrit :
>>>>>>> Le samedi 7 octobre 2023 à 10:07:37 UTC+2, efji a écrit :
>>>>>>>> Le 06/10/2023 à 22:40, Yanick Toutain a écrit :
>>>>>>>>> Pendant 10h le passager d'un camion voit une moto tourner autour du camion.
>>>>>>>>> Il calcule que la vitesse de révolution de la moto est
>>>>>>>>> v = 1 km/h
>>>>>>>>> Seulement voilà, le camion n'est pas immobile. Pendant ces dix heures, il a roulé à une vitesse
>>>>>>>>> S = 100 km/h
>>>>>>>>> La question est (bien évidemment par rapport à la route)
>>>>>>>>> quelle est la longueur du trajet de la moto.
>>>>>>>>> Et donc quelle a été T la vitesse moyenne de la moto.
>>>>>>>>> Et donc quelle est la valeur de T - S (en fonction de S et de v)
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Question subsidiaire : Est-ce que la formule approximative donnant le résultat et/ou la démonstration rigoureuse apparaissent quelque part dans un ouvrage de physique depuis 3 siècles ?
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> ChatGPT vient de corriger la démonstration de Bard.
>>>>>>>>> Je les publierai quand d'éminents mathématiciens auront posé leurs lumières sur ce trivial exercice (dont les conséquences en physique seront gigantissimes)
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> confer problème idem en fr.sci.physique il y a deux mois.
>>>>>>>>> Sans réponse sérieuse.
>>>>>>>>> https://groups.google.com/g/fr.sci.physique/c/PkjZXe9y2FQ
>>>>>>>> Il manque un paramètre : le rayon r du cercle que décrit la moto dans le
>>>>>>>> référentiel du camion. Ensuite on écrit facilement avec une intégrale la
>>>>>>>> longueur du chemin décrit par la moto dans le référentiel de la route,
>>>>>>>> mais cette intégrale n'est pas calculable explicitement car elle est de
>>>>>>>> la forme \int \sqrt{a+b\sin(t)} dt
>>>>>>>> avec a différent de b.
>>>>>>>>
>>>>>>>> On peut en faire un développement limité car a>>b et on obtient la
>>>>>>>> solution développée en fonction de vr^2/S << 1.
>>>>>>>>
>>>>>>>> Un petit exercice de math sup pas très difficile.
>>>>>>>>
>>>>>>>> -- 
>>>>>>>> F.J.
>>>>>>> Merci de participer.
>>>>>>> Il ne manque aucun paramètre et c'est là une des principales subtilités du problème.
>>>>>>> Mais vous pouvez évidemment choisir arbitrairement un rayon (par exemple r = 10 (m) pour homogénéiser avec les réponses d'autres souhaitant absolument avoir un tel rayon. Vous en choisirez un autre r2= 20 m pour comparer vos résultats)
>>>>>>> Cela fait des années que je le pose à des "vrais" gens bac+x qui ne le trouvent pas "pas difficile "
>>>>>>> Seuls Bard puis ChatGPT (après des heures d'explication de ma part) ont trouvé le bon résultat avec une démonstration qui me semble ne pas contenir de bug logique
>>>>>> Exact pour r. J'avais fait une petite erreur de calcul dès le début dans
>>>>>> la vitesse angulaire :)
>>>>>>
>>>>>> Donc finalement la réponse est S, tous calculs faits. C'est troublant au
>>>>>> premier abord, mais on comprend très vite ce qui se passe : si la route
>>>>>> est selon x, la moyenne de la composante en y de la vitesse de la moto
>>>>>> est évidemment 0 et la moyenne de la vitesse selon x est aussi
>>>>>> évidemment S. Attention ces deux moyennes des composantes de la vitesse
>>>>>> ne prouvent pas le résultat : en effet imaginons un objet sur une
>>>>>> glissière fixée au pare-choc (donc qui suit le mouvement du camion en x)
>>>>>> et qui oscille de droite à gauche selon y, on aurait les mêmes moyennes
>>>>>> que dans le cas de l'orbite circulaire mais une vitesse moyenne globale
>>>>>> différente de S, probablement \sqrt{S^2+v^2}. C'est le mouvement
>>>>>> circulaire de la moto dans le référentiel du camion qui donne ce
>>>>>> résultat étonnant.
>>>>>>
>>>>>> -- 
>>>>>> F.J.
>>>>>
>>>>> Supposez une fuite d'huile avec une goutte qui tombe sur la route tous les 10 mètres.
>>>>
>>>>
>>>>> Quel serait le tracé des gouttes pour la moto ?
>>>> Il ne faut pas parler de mètres mais de secondes !
>>>> Le tracé de la trajectoire est une petite ondulation autour le la
>>>> droite, d'équation (ici on a besoin du rayon r !)
>>>>
>>>> x(t) = St + r \cos(\theta't)
>>>> y(y) = r \sin(\theta't)
>>>>
>>>> \theta' = 2\pi v/r
>>>>> Ou encore, imaginez la consommation totale d'essence.
>>>>> Supposez-vous que la moto aura consommé autant que le camion ?
>>>>> (on suppose L litres au 100 pour les deux)
>>>>>
>>>>> Il y a en effet des "raccourcis mathématiques" conceptuels qui donnent des résultats (faux) étranges.
>>>>> Encore une fois c'est l'intérêt de ce problème.
>>>>> Je n'ai jamais trouvé trace de la formule du résultat final (T vitesse moyenne de la moto) pour v bien plus petit que S
>>>>> T = S + ?
>>>> Si on moyenne sur un nombre entier de rotations (et de nouveau ici on a
>>>> besoin de r), le terme du premier ordre tombe car on a en facteur
>>>> \int \sin(\theta't) dt = 0
>>>>
>>>> Donc on a
>>>>
>>>> T = S + C (v/S)^2 + o((v/S)^3)
>>>>
>>>> le terme suivant est d'ordre 4 (d'où le "o") car de nouveau le terme en
>>>> \int \sin(\theta't)^3 dt = 0 si on moyenne sur un nombre entier de périodes.
>>>>> La formule donnant T je ne l'ai jamais vue nul part ailleurs que dans mes propres calcul.
>>>> Ne vous surestimez pas, c'est à la portée de tout étudiant correct en
>>>> math sup :)
>>>>> Les AI IA Bard et ChatGPT ne la connaissent pas dans leurs archives.
>>>> Elles ne peuvent pas (encore) inventer des choses pareilles, sauf si on
>>>> les aide un peu.
>>>>> Ils n'ont aucune idée de QUI aurait bien pu faire de tels recherches.
>>>> "recherches" :)
>>>>
>>>> -- 
>>>> F.J.
>>> Vous annoncez quelle vitesse ? Et quelle longueur supplémentaire parcourue par la moto ?
>>> T = S + C (v/S)^2 + o((v/S)^3)
>> Si on calcule sur une période de révolution de la moto tau on obtient
>> avec vos notations (T est une bien mauvaise notation pour une vitesse
>> moyenne) :
>>
>> T = S + 3\pi^2 S (v/S)^2 + S O((v/S)^4)
>>
>> et donc la longueur parcourue par la moto sera T*tau
>>
>> -- 
>> F.J.
> 
> J'attends toujours de lire votre résultat en mètres

Vous vous foutez de moi ?
Je commence à comprendre ce que d'autres contributeurs disent de vous...

> 
> L'énoncé ne comporte ni rayon ni période de rotation
> ( qui sont liés par v car Période × v = 2 pi × R )
> 
> L'énoncé est parfaitement clair
> 
> ===> Pendant 10h le passager d'un camion voit une moto tourner autour du camion.
> (,,)
> La question est (bien évidemment par rapport à la route)
> quelle est la longueur du trajet de la moto.

S = 100 km/h
v =  1 km/h

T = S + 3\pi^2 S (v/S)^2 + S O((v/S)^4)
   = 129.6088 km/h ± 10^{-4}
(l'erreur est égale à une constante x 10^{-6})
En 10 heures la moto a parcouru environ 1296 km

> Et donc quelle a été T la vitesse moyenne de la moto.
> Et donc quelle est la valeur de T - S (en fonction de S et de v)

Vous vous foutez bien de moi, c'est confirmé.

> ===
> Quand vous aurez fini par trouver ce "petit exercice de math sup pas très difficile", selon vous,  on passera à la suite
> Avec S vitesse du Soleil et T vitesse de la Terre.

La "vitesse du soleil" n'a pas de sens en l'absence de référentiel fixe 
ayant une pertinence.

-- 
F.J.