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From: efji <efji@efi.efji>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re=3A_Biaiser_les_probabilit=C3=A9s?=
Date: Sun, 28 Jan 2024 18:01:09 +0100
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 92
Message-ID: <up618l$rdt$1@dont-email.me>
References: <FC7uiNUCeXddcQcZGTqATTlb77E@jntp> <up5ein$3t97h$3@dont-email.me>
 <Nh2dKVFBbNy2DBQd6Dha9Q6gY74@jntp> <up5fav$3term$1@dont-email.me>
 <4CR5UFYiWkFCpxWraTBPQ9aULsw@jntp> <up5ihm$3u1ml$1@dont-email.me>
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MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed
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Injection-Date: Sun, 28 Jan 2024 17:01:09 -0000 (UTC)
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User-Agent: Mozilla Thunderbird
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In-Reply-To: <JLTQztzcWhQmabrBqcVhlX4lCTQ@jntp>
Content-Language: fr, en-US
Bytes: 5697

Le 28/01/2024 à 17:18, Julien Arlandis a écrit :
> Le 28/01/2024 à 17:08, efji a écrit :
>> Le 28/01/2024 à 13:59, Julien Arlandis a écrit :
>>> Le 28/01/2024 à 13:49, efji a écrit :
>>>> Le 28/01/2024 à 12:58, Julien Arlandis a écrit :
>>>>> Le 28/01/2024 à 12:55, efji a écrit :
>>>>>> Le 28/01/2024 à 12:49, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>>> Le 28/01/2024 à 12:42, efji a écrit :
>>>>>>>> Le 28/01/2024 à 11:11, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>>>>> Bonjour,
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Vous disposiez d'un ticket composé de N cases à gratter, chaque 
>>>>>>>>> case représente soit un gain soit une perte avec une 
>>>>>>>>> probabilité de 1/2. Le jeu consiste à miser sur n'importe 
>>>>>>>>> quelle case non grattée et pour faire votre choix vous avez la 
>>>>>>>>> possibilité de gratter autant de cases que vous le désirez 
>>>>>>>>> (dans la limite de N-1 sinon vous ne pouvez plus jouer).
>>>>>>>>> La question est la suivante : existe t-il une stratégie qui 
>>>>>>>>> permette de gagner avec une probabilité strictement supérieure 
>>>>>>>>> à 1/2 ?
>>>>>>>>
>>>>>>>> Je ne pense pas.
>>>>>>>> Si vous faites P tirages préliminaires vous allez avoir en 
>>>>>>>> moyenne P/2 cases gagnantes et P/2 cases perdantes, donc vous 
>>>>>>>> retombez sur le problème précédent avec N-P cases.
>>>>>>>
>>>>>>> Vous pouvez par exemple prolonger les tirages préliminaires 
>>>>>>> jusqu'à observer une légère dissymétrie entre les gains et les 
>>>>>>> pertes, cette dissymétrie ne devrait elle pas se reporter sur les 
>>>>>>> N-P cases restantes ? Par ailleurs une dissymétrie apparait 
>>>>>>> nécessairement pour tous les P impairs.
>>>>>>>
>>>>>>
>>>>>> Oui mais cette dissymétrie est symétrique :)
>>>>>> Vous avez autant de chance qu'elle soit du bon côté que du 
>>>>>> mauvais, donc on ne peut pas l'utiliser pour construire une 
>>>>>> stratégie.
>>>>>
>>>>> Vous pouvez continuer de gratter tant que la dissymétrie n'est pas 
>>>>> à votre avantage, et vous arrêter dès qu'il y a davantage de pertes 
>>>>> que de gains.
>>>>
>>>> Oui en effet, sauf qu'il y a une probabilité non nulle que ça 
>>>> n'arrive jamais,
>>>
>>> Oui.
>>>
>>>> et finalement, en moyenne, cette "stratégie" a exactement la même 
>>>> probabilité de gain que pas de stratégie.
>>>
>>> Quel est le lien logique avec ce qui précède ? Pouvez vous le 
>>> démontrer ?
>>
>> Je l'ai démontré dès ma première réponse!
>> Oublions qu'on est dans un espace discret avec des entiers pairs et 
>> impairs car cela n'a aucun intérêt. Disons que N est suffisamment 
>> grand pour que N/2 et (N+1)/2 soient comparables.
>>
>> Après P<N tirages vous avez une probabilité de 0.5 d'avoir tiré plus 
>> de P/2 cases gagnantes et 0.5 d'avoir tiré moins de P/2 cases 
>> gagnantes, donc une chance sur 2 qu'il reste plus de gagnantes que de 
>> perdantes dans les N-P cases restantes et une chance sur 2 qu'il en 
>> reste moins, et donc on retombe sur le problème de départ sans avoir 
>> rien gagné (ni perdu).
> 
> En négligeant N et N+1 vous négligez surtout la solution. Pour fixer les 
> choses considérons que N = 50, et je fixe pour stratégie de gratter 
> autant de cases que nécessaire pour obtenir plus de pertes que de gains, 
> si au bout de 49 grattages je n'obtiens toujours pas l'avantage je tente 
> ma chance en misant la dernière case.
> Sous cette stratégie la probabilité de victoire est elle supérieure à 
> 1/2 ? Et si oui combien vaut elle ?

Gratter 49 cases dans un jeu à 50 est assez idiot (et interdit par les 
règles que vous avez vous même écrites....).
Voyons les choses autrement : tout est symétrique dans ce problème, donc 
il n'y a aucune chance de pouvoir faire tomber le balancier plus 
probablement d'un côté que de l'autre !

On suppose évidemment N pair. Quel que soit P<N et quels que soient 
P1+P2=P, la probabilité après P tirages d'avoir découvert P1 gagnants et 
P2 perdants et la même que la probabilité d'avoir découvert P1 perdants 
et P2 gagnant. Donc la découverte de P cases ne peut donner l'avantage à 
aucun des deux.

Si vous n'êtes pas convaincu et si ça vous amuse, vous pouvez écrire 
tous les cas possibles avec N=4 par exemple, et P=1 et P=2. La symétrie 
va vous sauter aux yeux.

-- 
F.J.