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Path: ...!news.mixmin.net!proxad.net!feeder1-2.proxad.net!usenet-fr.net!.POSTED!not-for-mail From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net> Newsgroups: fr.sci.maths Subject: =?UTF-8?Q?Re:_Biaiser_les_probabilit=c3=a9s?= Date: Tue, 30 Jan 2024 14:21:17 +0100 Organization: There's no cabale Lines: 62 Message-ID: <upat4d$iku$1@cabale.usenet-fr.net> References: <FC7uiNUCeXddcQcZGTqATTlb77E@jntp> <WIGYsx07m3DG6dcL2jvOfe3i1sA@jntp> <up6btb$1arg$1@cabale.usenet-fr.net> <Q6obnXg5HnO88LgOL2sxykZiUWc@jntp> <up8lej$2eah$1@cabale.usenet-fr.net> <cczhJyDQLcwXjXJ3eURJ7Eun36I@jntp> <up9841$2tba$1@cabale.usenet-fr.net> <frOm3MdS62za7-JTcGughujiCL8@jntp> <upahdf$ecm$1@cabale.usenet-fr.net> <upal63$fdm$1@cabale.usenet-fr.net> <rCOHE3rOYB-iilctbcoR0-d2nio@jntp> NNTP-Posting-Host: 200.89.28.93.rev.sfr.net Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1706620877 19102 93.28.89.200 (30 Jan 2024 13:21:17 GMT) X-Complaints-To: abuse@usenet-fr.net NNTP-Posting-Date: Tue, 30 Jan 2024 13:21:17 +0000 (UTC) User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:52.0) Gecko/20100101 Firefox/52.0 SeaMonkey/2.49.4 In-Reply-To: <rCOHE3rOYB-iilctbcoR0-d2nio@jntp> Bytes: 3994 Le 30/01/2024 13:21, Julien Arlandis a écrit : > > Es tu sûr de ta formule ? Maintenant oui, d'autant plus que les chances que je me sois trompé mais que je tombe sur une formule hyper-compliquée dont le résultat soit par hasard exactement égal à un demi, ces chances sont assez minces ! Voici mon raisonnement. Pour commencer, déterminons ce qu'est une situation gagnante avec cette stratégie. Je note G le fait de découvrir une case gagnante et P celui de découvrir une case perdante. Pour que tu paries, il faut que tu découvres un P, et que ce soit la première fois que le nombre de P devient strictement supérieur au nombre de G. Cela veut dire que la séquence juste avant ce P contient autant de G que de P (notons k ce nombre de G et de P), et qu'à tout moment il y a eu dans cette séquence au moins autant de G que de P. Cette séquence de longueur 2k est un mot de Dyck, avec des G à la place des X et des P à la place des Y : <https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Catalan#Mots_de_Dyck>. Le nombre de mots de Dyck de longueur 2k est exactement le nombre de Catalan d'indice k, soit (2k)!/k!/(k+1)!, et c'est bien sûr un entier. Pour que tu paries à ce moment-là, il faut que ce mot de Dyck soit suivi par un P, et pour que tu gagnes il faut que ce P soit suivi par un G. Voici un exemple de combinaison gagnante : "GGPGPPPG" où le début "GGPGPP" est un mot de Dyck et la fin est invariablement "PG". Calculons les probabilités d'obtenir cette combinaison particulière, ça donnera une idée du cas général. − premier G : n/(2n) − deuxième G : (n-1)/(2n-1) - premier P : n/(2n-2) - troisième G : (n-2)/(2n-3) - deuxième P : (n-1)/(2n-4) - troisième P : (n-2)/(2n-5) - quatrième P : (n-3)/(2n-6) - quatrième G : (n-3)/(2n-7) Aux numérateurs, on a deux fois n, deux fois (n-1), deux fois (n-2) et deux fois (n-3), même si c'est dans le désordre. Aux dénominateurs, on a tous les nombres de 2n à 2n-7, dans l'ordre. De façon assez évidente, on peut voir que pour tout autre nombre de Dyck de même longueur on aura les mêmes numérateurs (quoique dans un ordre différent) et les mêmes dénominateurs (dans le même ordre). Et donc, la probabilité de gagner suite à "un" mot de Dyck de longueur 2k donné, c'est le carré de n(n-1)...(n-k) divisé par (2n)(2n-1)...(2n-1-2k). Il faut sommer ça sur tous les mots de Dyck de toutes les longueurs possibles, sachant que pour la longueur 2k le nombre de mots de Dyck correspondant est le nombre de Catalan d'indice k. Un petit peu de manipulation algébrique, et on arrive à la formule que j'ai donnée. -- Olivier Miakinen