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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re:_[SOLUTION]_Biaiser_les_probabilit=c3=a9s?=
Date: Sun, 4 Feb 2024 13:58:52 +0100
Organization: There's no cabale
Lines: 88
Message-ID: <upo1mc$15ck$1@cabale.usenet-fr.net>
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 <upb6de$n9n$2@cabale.usenet-fr.net> <nE64HZSkilJ6UFGl8Apsg46LuZI@jntp>
 <upjsdq$2ogu$1@cabale.usenet-fr.net> <fA6PzBlODe__tZ5d6cdT84cV8RY@jntp>
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Le 04/02/2024 13:22, Julien Arlandis m'a répondu :
>> 
>> Ça c'est facile : à partir du moment où tu es arrivé à N-2 sans avoir 
>> jamais
>> l'avantage p > g, et que toutes les cases gagnantes n'ont pas encore été
>> grattées,

Note bien que j'avais écrit « et que toutes les cases gagnantes n'ont pas
encore été grattées »

>> ça veut dire qu'il reste exactement une case gagnante et une case
>> perdante dans les deux dernières cases.
> 
> Tu peux aussi arriver à N-2 en ayant gratté les N/2 cases gagnantes.

Oui, mais dans ce cas-là à quoi bon continuer à gratter des cases ou
à miser sur l'une d'entre elles ?

> La question revient à dénombrer le nombre de combinaisons n1 qui 
> conduisent à miser sur la dernière case, et parmi ces n1 combinaisons 
> combien y en a t-il où la condition p>g est vérifiée (notons n2 ce 
> nombre).

Ce nombre sera différent si tu cesses de jouer aussitôt que tu as
découvert N/2 cases gagnantes, ou bien si tu continues à gratter même
si tu s	ais qu'il ne te reste plus que des cases perdantes.

> La probabilité de gagner en misant sur la dernière case est donc n2/n1, 
> ce nombre est forcément inférieur à 1/2 de façon à compenser toutes 
> les probabilités de gagner dans les cas où tu es contraint de miser 
> avant d'avoir gratté N cases et où l'on sait que la probabilité de gain 
> est supérieure à 1/2.

Mais comment comptes-tu tous les cas où tu as gratté toutes les cases
gagnantes avant d'avoir gratté N-2 cases ? Cela réduit forcément ta
probabilité de gain, et tu ne peux donc plus affirmer que celle-ci
était « (strictement) supérieure à 1/2 ».

>> Alors, que le joueur mise sur l'une des deux cases au hasard ou qu'il gratte
>> la N-1 avant de miser sur la N, la probabilité de gain est la même : 50 %.
> 
> Je ne suis pas sûr que l'on parle de la même chose, alors formalisons un 
> peu le problème, on note P(i) la probabilité de gagner sur la i_ème 
> case d'une grille équilibrée (N pair) avec la stratégie que j'ai 
> évoquée (qui consiste à gratter tant que p<g et miser juste après).

C'est strictement ta stratégie ? Tu veux dire que lorsque tu as découvert
N/2 cases gagnantes tu continues à gratter pour la beauté du geste, même
si tu sais que tu ne miseras jamais, ou éventuellement que tu miseras sur
la dernière case que tu sais depuis longtemps être une case perdante ?

> 
> P(i) = 0 pour l'ensemble des i impairs car on peut démontrer facilement 
> que l'avantage ne peut être obtenu qu'après grattage d'un nombre impair 
> de cases grattées,

Oui.

> et la valeur P(1) = 1/2 (on gagne si dès le premier 
> grattage on tombe sur un gain).

???

Tu viens de dire (avec raison) que P(i) = 0 pour toute case impaire puisque
selon ta stratégie tu ne miseras jamais sur une telle case !

Peut-être qu'ici tu penses à une autre probabilité, mettons Q(i), qui serait
la probabilité de gain *si* tu décidais de miser à ce moment-là (ce que tu
fais ou non en fonction de ta stratégie).

> D'une manière générale on peut démontrer que pour tout i pair tel que 
> i < N, P(i) = (N/2-g)/(N-i+1) où g est le nombre de cases gagnantes 
> grattées

[NON]

Ce que tu calcules là, ce n'est pas P(i) mais Q(i).

> [...]

J'ai supprimé le reste, forcément faux puisque tu y confonds le P(i) que
tu as défini et le Q(i) qui est tout autre chose.

Au finale, tu veux calculer quoi ? Cela, tout en sachant que quelle que
soit ta stratégie tu ne pourras jamais b(i)aiser les probabilités.

-- 
Olivier Miakinen