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From: efji <efji@efi.efji>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re=3A_Plus_grand_cercle_tangent_en_un_point_=C3=A0_une_co?=
 =?UTF-8?Q?urbe_et_enti=C3=A8rement_du_m=C3=AAme_cot=C3=A9_de_la_courbe?=
Date: Fri, 19 Apr 2024 11:50:18 +0200
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Injection-Date: Fri, 19 Apr 2024 11:50:20 +0200 (CEST)
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Content-Language: fr, en-US
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Le 19/04/2024 à 10:29, ast a écrit :
> Le 18/04/2024 à 22:22, efji a écrit :
>> Le 18/04/2024 à 07:27, ast a écrit :
>>> Bonjour,
>>>
>>> Je connais déjà la notion de cercle osculateur en un point d'une 
>>> courbe, (son rayon est le rayon de courbure), mais sauf cas 
>>> particulier la courbe traverse son cercle osculateur en un point.
>>
>> ??
>> Pas compris.
>> Sauf si la courbe est localement un cercle (auquel cas elle est 
>> confondue sur un voisinage avec son cercle tangent), elle ne touche 
>> son cercle tangent qu'en un point (localement toujours, tout ce qui 
>> n'est pas local n'ayant pas de sens). C'est exactement comme la 
>> tangente à la courbe.
> 
> Sur wikipédia:
> https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_osculateur
> 
> Paragraphe:
> Démonstrations et étude de la position de la courbe et du cercle osculateur
> 
> Je cite:
> (cas le plus fréquent), la courbe traverse le cercle osculateur en ce 
> point.

Ah ok. Je n'avais pas compris la question.

> 
> C'est logique pour une courbe dont le rayon de courbure serait croissant 
> (ou décroissant) le long de la courbe
> 
> 
> Je demandais le cercle tangent à une courbe en un point donné de plus 
> grand rayon possible tel que "localement" au point de contact la courbe 
> ne traverse pas le cercle.

Non, il n'y en a pas.
La tangente est le premier terme du développement de Taylor de la 
fonction, le cercle osculateur est le second.

Ce que dit la phrase de wikiedia c'est que si le terme d'ordre 3 qui 
vient ensuite est non nul (ce qui est le cas le plus fréquent), le 
cercle traverse. C'est exactement le même phénomène (dans l'autre sens) 
que la tangente qui traverse la courbe lorsque le terme d'ordre 2 est 
nul (ce qui est le cas le moins fréquent).

Pour comprendre ce qui se passe il suffit de regarder un polynôme en x=0 
car toute fonction régulière peut être vue comme un polynôme localement 
(c'est justement son développement de Taylor). Prenons le développement 
à l'ordre 3 et supposons f(0)=0 et f'(0)=0 pour simplifier

soit f(x) = bx^2 + cx^3

La tangente en x=0 est la droite y=0
Le cercle osculateur en 0 est le cercle de centre (0,b/2) et de rayon b/2.
Si c=0 c'est un cercle surosculateur (qui ne traverse pas la courbe sauf 
si le terme d'ordre 4 qui suit est nul et le terme d'ordre 5 est non 
nul...).
Si c!=0 il traverse la courbe.

Regardons maintenant les autres cercles tangents

Les cercles tangents en 0 à ce polynôme sont de rayon r et de centre 
(0,r) ou (0,-r). Prenons la première classe (c'est pareil pour l'autre) 
: l'équation de la portion de cercle qui touche la courbe est
y = r - \sqrt(r^2-x^2)
On peut en faire le DL en x=0:
y = r-r\sqrt(1-(x/r)^2) = r - r(1 - (x^2)/2r^2) + o(x^2))
   = x^2/(2r) + o(x^2)

Il s'agit donc maintenant de comparer f(x) et g(x) = x^2/(2r) en x=0 
pour toutes les valeurs de r.
Pour simplifier prenons f(x) = x^2 + x^3

On cherche la plus grande valeur de r telle que le cercle est localement 
au dessus de la courbe.

g(x)>f(x) <=> x^2/(2r) > x^2 + x^3
<=> x < -1+1/(2r)

On voit que si r>1/2 il n'y a pas de voisinage de 0 pour lequel la 
courbe est en dessous du cercle.
On voit aussi que le sup des r tels qu'il existe un voisinage pour 
lequel la courbe est en dessous est r=1/2. On retrouve le cercle 
osculateur, ce qui est attendu bien sûr, mais bien sûr aussi le 
voisinage de x=0 sur lequel la courbe est en dessous du cercle se réduit 
alors au point x=0. La courbe traverse le cercle!

-- 
F.J.