Path: ...!weretis.net!feeder6.news.weretis.net!feeder8.news.weretis.net!news.trigofacile.com!usenet-fr.net!agneau.org!nntpfeed.proxad.net!proxad.net!feeder1-1.proxad.net!cleanfeed2-a.proxad.net!nnrp1-1.free.fr!not-for-mail Subject: Re: Puissance complexe Newsgroups: fr.sci.maths References: From: Michel Talon Date: Wed, 22 Dec 2021 11:44:21 +0100 User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:78.0) Gecko/20100101 Thunderbird/78.14.0 MIME-Version: 1.0 In-Reply-To: Content-Type: text/plain; charset=utf-8; format=flowed Content-Language: fr Content-Transfer-Encoding: 8bit Lines: 62 Message-ID: <61c30185$0$3693$426a74cc@news.free.fr> Organization: Guest of ProXad - France NNTP-Posting-Date: 22 Dec 2021 11:44:21 CET NNTP-Posting-Host: 88.161.173.7 X-Trace: 1640169861 news-1.free.fr 3693 88.161.173.7:23683 X-Complaints-To: abuse@proxad.net Bytes: 4062 Le 21/12/2021 à 09:45, Julien Arlandis a écrit : > Le 21/12/2021 à 09:00, Samuel DEVULDER a écrit : >> Le 21/12/2021 à 01:01, Julien Arlandis a écrit : >> >>> Mézalors dans ce cas : >>> 2 * sqrt(-1) = 0 >> >> Ben non 2*sqrt(-1) = {-2i, +2i} > > sqrt(-1) + sqrt(-1) = {-i, +i} + {-i, +i} = {-2i, 0, +2i} > > Ce qui donne un résultat différent de 2*sqrt(-1). > > J'en déduis que l'on ne peut pas factoriser une variable multivaluée, ce > qui est quand même embêtant pour faire du calcul. > >>> sqrt(-1) = 0 >>> i = 0 >> >> sam. > > Je vais citer ici le texte de Dieudonné qui figure dans l'introduction au chapitre 9 de son cours fleuve: Elements d'analyse. Il est naturellement gênant de ne pas pouvoir définir dans le corps C une authentique fonction continue sqrt(z) qui vérifierait la relation (sqrt(z))^2 = z. Mais on ne doit certainement pas chercher à résoudre cette difficulté par une violation délibérée de la notion générale d'application qui consisterait à décréter soudainement qu'après tout il existe une telle fonction qui possède pourtant la propriété inhabituelle d'avoir pour tout z /= 0 deux valeurs distinctes. Le châtiment de cette attitude ridicule et indécente est immédiat: il est impossible d'utiliser les opérateurs algébriques les plus élémentaires, de façon raisonnable: par exemple la relation 2 sqrt(z)=sqrt(z)+sqrt(z) n'est certainement pas vraie car ... le membre de gauche a 2 valeurs et le membre de droite en a 3. Heureusement il existe une solution à cette difficulté qui...a été découverte par Riemann il y a plus de 200 ans: elle consiste à rétablir l'unicité de la valeur de sqrt(z) en doublant pour ainsi dire le domaine de la variable z de façon que les deux valeurs de sqrt(z) correspondent à deux points au lieu d'un seul - trait de génie s'il en fut jamais, qui est à l'origine de la grande théorie des surfaces de Riemann.... Voilà, en particulier pour le log, la surface de Riemann a une infinité de feuillets au dessus de C, sur chacun de ces feuillets le log a une valeur bien définie dans la famille log |z| + 2 i k pi Les points au dessus de 0 et infini sont particuliers on parle revêtement branché. Le cas le plus intéressant est celui des fonctions algébriques, solution (en y) de P(x,y)=0 (P polynome de degré n en y) où la surface de Riemann a n feuillets au dessus du plan complexe des x, mais avec plein de points de branchement (les valeurs de x pour lesquelles il y a des racines multiples). Ces surfaces sont analytiques lisses, on peut aller d'un feuillet à un autre par un chemin continu. -- Michel Talon