Path: ...!eternal-september.org!feeder3.eternal-september.org!news.eternal-september.org!.POSTED!not-for-mail From: efji Newsgroups: fr.sci.maths Subject: =?UTF-8?Q?Re=3A_=5BMa_solution=5D_=C3=89quation_fonctionnelle?= Date: Thu, 4 Jan 2024 10:12:54 +0100 Organization: A noiseless patient Spider Lines: 54 Message-ID: References: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Injection-Date: Thu, 4 Jan 2024 09:12:54 -0000 (UTC) Injection-Info: dont-email.me; posting-host="16e80007acfe1e610732c6e257956454"; logging-data="3789070"; mail-complaints-to="abuse@eternal-september.org"; posting-account="U2FsdGVkX18sFiCMqcqTNZ6Ppu7B3lck" User-Agent: Mozilla Thunderbird Cancel-Lock: sha1:4/I6CYyBfqJ6xf4n84po9Tv0cLk= Content-Language: fr, en-US In-Reply-To: Bytes: 3211 Le 04/01/2024 à 10:02, Olivier Miakinen a écrit : > Le 02/01/2024 à 22:14, j'ai proposé : >> >> Le week-end dernier, sur la chaine youtube de Michael Penn, il y >> avait une très jolie équation fonctionnelle. Je vous la soumets. >> >> Il s'agit de trouver toutes les fonctions f de ℝ dans ℝ vérifiant : >> ∀x∈ℝ, f(x) = max{2xy − f(y), y∈ℝ} > > Ainsi que l'a écrit Samuel Devulder, la vidéo est ici : > (en anglais). > > Voici ma propre solution, que je trouve un peu plus simple que la > sienne (ceux qui comprennent l'anglais et regardent la vidéo pourront > comparer). > > Tout d'abord, j'ai reformulé l'équation sans utiliser max(), en disant > que deux conditions doivent être vérifiées simultanément : > (1) ∀x∈ℝ, ∀y∈ℝ, f(x) ≥ 2xy - f(y) > (2) ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, f(x) = 2xy - f(y) > > De la première condition, en choisissant y = x, on prouve que : > ∀x∈ℝ, f(x) ≥ x² > > Il est facile de vérifier que la fonction définie par f(x) = x² > convient. Pour voir si c'est la seule, je pose f(x) = x² + g(x). > D'après la preuve précédente, on sait que ∀x∈ℝ, g(x) ≥ 0. > > Je réécris alors la condition (2) en passant tout dans le membre > de gauche : > ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, f(x) - 2xy + f(y) = 0 > ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, (x² + g(x)) - 2xy + (y² + g(y)) = 0 > ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, (x² - 2xy + y²) + g(x) + g(y) = 0 > ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, (x - y)² + g(x) + g(y) = 0 > > Chacun des trois termes (x - y)², g(x) et g(y) est toujours supérieur > ou égal à zéro. La seule possibilité pour que la somme soit nulle est > que tous les trois soient nuls, en particulier que g(x) = 0, et ce > quel que soit x. > > En conclusion : ∀x∈ℝ, f(x) = x² + g(x) = x² + 0 = x². > > La seule fonction vérifiant l'équation fonctionnelle est donc f(x) = x². > J'ai fait pareil sur la 2eme partie après que tu aies donné l'indication f(x) = x^2+g(x). Pour la première partie j'ai cherché tous les polynômes qui marchent et on tombe sur x^2. -- F.J.