Path: ...!weretis.net!feeder8.news.weretis.net!proxad.net!feeder1-2.proxad.net!cleanfeed1-b.proxad.net!nnrp3-1.free.fr!not-for-mail Date: Mon, 29 Jul 2024 22:46:30 +0200 MIME-Version: 1.0 User-Agent: Mozilla Thunderbird Subject: Re: Courbe de Bezier cubique Newsgroups: fr.sci.maths References: Content-Language: fr From: Michel Talon In-Reply-To: Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Lines: 69 Message-ID: <66a7ffa6$0$3659$426a34cc@news.free.fr> Organization: Guest of ProXad - France NNTP-Posting-Date: 29 Jul 2024 22:46:30 CEST NNTP-Posting-Host: 88.181.102.49 X-Trace: 1722285990 news-4.free.fr 3659 88.181.102.49:27529 X-Complaints-To: abuse@proxad.net Bytes: 3233 Le 28/07/2024 à 21:08, Olivier Miakinen a écrit : > On a alors : > x(t) = (6a+2)t³ - (9a+3)t² + (3a+3)t - 1 > y(t) = -4t³ + 6t² - 1 Pour prendre un exemple de ce que donne la méthode d'élimination, prenons ces formules que tu donnes. Calcul avec maxima: (%i1) eq1: x=(6*a+2)*t^3-(9*a+3)*t^2+(3*a+3)*t-1$ (%i2) eq2: y=-4*t^3+6*t^2-1$ (%i3) eliminate([eq1,eq2],[t]); (%o3) [-8*(a^3*(27*y^3-27*y)+a^2*(27*y^3-27*y)+a*(9*y^3+27*y)+y^3 +x*(a^2*(54*y^2-54)+a*(36*y^2-108)+6*y^2-54) +x^2*(36*a*y+12*y)+27*y+8*x^3)] (%i4) facsum(%[1],x,y); (%o4) (-8*(3*a+1)^3*y^3)-48*(3*a+1)^2*x*y^2-96*(3*a+1)*x^2*y +216*(a-1)*(a+1)^2*y-64*x^3+432*(a+1)^2*x Ci-dessus on applique facsum à %[1] car eliminate retourne une liste, et % est le résultat précédent. On voit que la courbe est une cubique qui passe par le point (0,0) pour tout a, comme tu le remarques. On voit aussi que pour a=-1/3 l'expression se simplifie: (%i5) ratsubst(-1/3,a,%); (%o5) (-128*y)-64*x^3+192*x En fait ceci est une cubique dégénérée, comme le montre la transformation: (%i6) factor(ratsubst(x*y,y,%)); /* remplacer y par x*y */ (%o6) -64*x*(2*y+x^2-3) qui est le produit d'une conique par une droite. Le cas a=1 produit une simplification assez forte. On s'aperçoit que le comportement à l'infini est donné par les termes de degré 3 qui se factorisent en -64*(2*y+x)^3 ce qui justifie le changement de variables suivant: (%i19) ratsubst(-2*y+X,x,subst(1,a,%o3[1])); (%o19) (-3456*y)-64*X^3+1728*X (%i20) factor(%); (%o20) -64*(54*y+X^3-27*X) Ici encore y-> X*y donne le produit d'une droite par une conique X*(54*y+X^2-27). Autre remarque. La courbe est une cubique "unicursale" puisqu'elle a une représentation paramétrique rationnelle. Ce n'est absolument pas le cas général des cubiques qui n'ont en général qu'une paramétrisation elliptique. Typiquement cette dégénérescence se produit quand la cubique a un point double - prenant une droite passant par le point double , et qui recoupe la cubique en un point, celui ci dépend rationnellement de la pente de la droite. -- Michel Talon