Path: ...!eternal-september.org!feeder3.eternal-september.org!news.eternal-september.org!.POSTED!not-for-mail From: efji Newsgroups: fr.sci.maths Subject: =?UTF-8?B?UmU6IHRhdXggZCdpbnTDqXLDqnQ=?= Date: Tue, 9 Jul 2024 22:21:08 +0200 Organization: A noiseless patient Spider Lines: 109 Message-ID: References: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Injection-Date: Tue, 09 Jul 2024 22:21:09 +0200 (CEST) Injection-Info: dont-email.me; posting-host="e4bbfca46fc241e1bad04b4032fceab0"; logging-data="1605294"; mail-complaints-to="abuse@eternal-september.org"; posting-account="U2FsdGVkX1+tlTsbGYL1q4eyIJnWABDR" User-Agent: Mozilla Thunderbird Cancel-Lock: sha1:Fo0lWM9OrTieciGMi6EZHLXZmUQ= Content-Language: fr, en-US In-Reply-To: Bytes: 4452 Le 09/07/2024 à 21:04, Olivier Miakinen a écrit : > Le 09/07/2024 20:30, efji m'a répondu : >> [...] >>> >>> Donc, pour reprendre tes termes : >>> | La valeur d'un bien = E >>> | Je sais combien ça va coûter en tout = n × A >>> | Je sais combien le remboursement va durer = n >>> >>> Tu cherches le taux d'intéret i, sachant que l'on a la formule : >>> A = E × i / (1 − (1 + i)^(-n)) >>> >>> On peut la simplifier un peu comme ceci : >>> (1 − (1 + i)^(-n)) / i = E/A (que tu connais) >>> >>> >>> Mais à partir de là je ne sais pas s'il existe une formule exacte donnant i >>> à partir de (1 − (1 + i)^(-n)) / i. Il doit falloir faire des approximations >>> successives. Cela dit, il est possible que les vrais mathématiciens qui >>> lisent fr.sci.maths aient une solution que je n'ai pas. >> >> Il n'y a pas de formule exacte sauf pour n<5, mais on peut facilement >> trouver une approximation à tout ordre de i lorsque i est petit. > > Je m'en doutais. > >> Permettez-moi de changer la notation car "i réel petit" choque mes >> habitudes :) > > :-D > >> Je le remplace par x et je note C=E/A. Je n'ai pas vérifié >> ce qui a permis d'établir la dernière formule, je vous fais confiance >> (vous n'êtes pas Hachel). > > La démonstration de la formule est donnée sur la page Wikipédia. Je l'ai > lue sans y trouver d'erreur. > > >> Notez que si les taux sont faibles, C=E/A est >> une quantité dont l'ordre de grandeur est n et qui est inférieure à n. >> >> Donc il faut résoudre >> >> 1-(1+x)^(-n) = Cx >> >> Il faut faire un développement limité en x (en le supposant petit devant 1) > > Oui, x est certainement petit devant 1, de l'ordre de 1/20 (entre 3 % et 6 % à > ce qu'il semble). Alors x³ devrait être de l'ordre de 1/8000. > >> Pour tout a réel on a le développement limité suivant à l'ordre 3 en x: >> >> (1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)x^2 + a(a-1)(a-2)x^3 + o(x^3) > > Ne manque-t-il pas des 1/k! ? > (1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)/2 x^2 + a(a-1)(a-2)/6 x^3 + o(x^3) ooch oui, désolé, écrit trop vite :) Donc: (1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)/2 x^2 + a(a-1)(a-2)/6 x^3 + o(x^3) > > J'arrête ici la lecture, j'ai encore des tas de choses à faire ce soir. > >> >> où o(x^3) est une quantité négligeable devant x^3, i.e. telle que >> o(x^3)/x^3 -> 0 lorsque x -> 0. >> >> Donc ici, pour a=-n, on obtient >> >> 1 - (1 - nx + n(n+1)x^2 - n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx Et ici 1 - (1 - nx + (1/2)n(n+1)x^2 - (1/6)n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx >> soit >> nx - n(n+1)x^2 + n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3) = Cx >> ou encore >> >> (n-C) - n(n+1)x + n(n+1)(n+2)x^2 + o(x^2) = 0 corrigé en (n-C) - n(n+1)x/2 + n(n+1)(n+2)(x^2)/6 + o(x^2) = 0 >> >> qui se résout facilement en négligeant le terme négligeable o(x^2). Je >> vous laisse le faire. >> >> Pour des taux d'intérêt très faibles on peut se contenter de >> l'approximation au 1er ordre et juste résoudre >> >> (n-C) - n(n+1)x = 0 en fait (n-C) - n(n+1)x/2 = 0 >> >> ce qui donne x = (n-C)/n(n+1). d'où x = 2(n-C)/n(n+1) au 1er ordre Une petite erreur d'un facteur 2 sur le taux ce n'est pas négligeable pour le banquier et le client :) -- F.J.