Path: news.eternal-september.org!eternal-september.org!.POSTED!not-for-mail From: efji Newsgroups: fr.sci.maths Subject: Re: i^i Date: Tue, 13 May 2025 22:38:25 +0200 Organization: A noiseless patient Spider Lines: 86 Message-ID: <1000ak3$21jfd$1@dont-email.me> References: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Injection-Date: Tue, 13 May 2025 22:38:27 +0200 (CEST) Injection-Info: dont-email.me; posting-host="a5105032b2178337e805b0fa714a9b07"; logging-data="2149869"; mail-complaints-to="abuse@eternal-september.org"; posting-account="U2FsdGVkX1/EQQWeI7qXnJJaS7yd5pc+" User-Agent: Mozilla Thunderbird Cancel-Lock: sha1:ccglXDzqdjsY9SW1nRVzLqRC8as= In-Reply-To: Content-Language: fr, en-US Le 10/05/2025 à 13:25, efji a écrit : > Le 10/05/2025 à 13:04, efji a écrit : >> C'est bizarre que ce ne soit encore jamais venu sur le tapis, que vaut >> i^i ? >> >> indice: c'est un nombre réel... >> > > Evidemment, ceux qui trouvent peuvent enchainer sur la suite : > Trouver les z\in\C t.q. z^z soit réel. En tracer la courbe. > Ben dites donc, ça ne passionne pas les foules mon petit problème... Donc i^i = e^{i log(i)} La détermination principale du logarithme donne log(i) = log(|i|) + i*arg(i) = i*π/2 où l'argument est l'argument principal, donc dans ]-π,π] et donc i^i = e^{i*log(i)} = e^{i*i*π/2} = e^{-π/2} qui est bien un réel. Maintenant la seconde partie : trouver les complexes z t.q. z^z soit réel. C'est pareil, toujours en utilisant la détermination principale du log : log(z) = log(|z|) + i*arg(z), pour arg(z) \in ]-π,π] écrivons z = r*e^{i*t} = r*(cos(t)+i*sin(t)) avec t \in ]-π,π], on a |z| = r et arg(z) = t d'où z^z = e^{r*(cos(t)+i*sin(t))*(log(r) + i*t)} donc z^z est réel ssi la partie imaginaire de l'exposant ci-dessus vaut kπ, soit t*cos(t) + log(r)*sin(t) = 2kπ, k\in\Z Pour k=0 ça donne la courbe en coordonnées polaires r = e^{-t/tan(t)}, t \in ]-π,π]. pour k non nul ça donne r = e^{(kπ-t*cos(t))/sin(t)} Evidemment il faut rajouter la branche triviale z \in \R_+ à l'ensemble des solutions. Pour k=-2,-1,0,1,2 ça donne les 5 branches suivantes : https://i.ibb.co/gMSQ0mNF/xgrcoltex04-small.png On ne voit pas grand chose autour de l'origine car pour k non nul on obtient tout de suite de grandes valeurs de r. En particulier on ne voit pas que la courbe rouge passe par ±i. On peut zoomer un peu pour y voir plus clair : https://i.ibb.co/tTQSvW4V/xgrcoltex05-small.png On peut aussi choisir une autre définition du log, différente de la détermination principale, et choisir arg(z) dans n'importe quel intervalle de longueur 2π. Si on se restreint à k=0 et si on trace aussi d'autres choix d'arguments on obtient d'autres branches rigolotes. Sur le graphe suivant, "+2π" signifie qu'on a choisi l'argument dans ]π,3π], et ainsi de suite pour les autres branches. On voit que toutes ces branches passent par ±i. En fait il y a une infinités de courbes, une pour chaque valeur de a en prenant l'argument dans ]a,a+2π]. https://i.ibb.co/F4c6SwQk/xgrcoltex02-small.png -- F.J. -- F.J.