Path: news.eternal-september.org!eternal-september.org!feeder3.eternal-september.org!news.gegeweb.eu!gegeweb.org!pi2.pasdenom.info!from-devjntp Message-ID: JNTP-Route: nemoweb.net JNTP-DataType: Article Subject: Re: Racines multiples References: <10076j0$3nvm7$1@dont-email.me> <10076t3$3nvm7$3@dont-email.me> <8EIpqsz4gfsiBsLm-EeGOJs7YQg@jntp> Newsgroups: fr.sci.maths JNTP-HashClient: GX2k23w6EsBLNxbHj7kLqb0uKAQ JNTP-ThreadID: UO5aBGj8dCTWrv33spw4emlnKjs JNTP-ReferenceUserID: 1@nemoweb.net JNTP-Uri: https://www.nemoweb.net/?DataID=S05cPorHx2WQyQPFYvrc8fx-Wkg@jntp User-Agent: Nemo/1.0 JNTP-OriginServer: nemoweb.net Date: Fri, 16 May 25 11:47:52 +0000 Organization: Nemoweb JNTP-Browser: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:128.0) Gecko/20100101 Firefox/128.0 Injection-Info: nemoweb.net; posting-host="71962ec0b262db26e9002693f4d52627a6dd14a2"; logging-data="2025-05-16T11:47:52Z/9312654"; posting-account="190@nemoweb.net"; mail-complaints-to="julien.arlandis@gmail.com" JNTP-ProtocolVersion: 0.21.1 JNTP-Server: PhpNemoServer/0.94.5 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit X-JNTP-JsonNewsGateway: 0.96 From: Python Le 16/05/2025 à 13:41, Julien Arlandis a écrit : > Le 16/05/2025 à 13:32, Python a écrit : >> Le 16/05/2025 à 13:17, efji a écrit : >>> Le 16/05/2025 à 13:17, Julien Arlandis a écrit : >>>> Le 16/05/2025 à 13:12, efji a écrit : >>>>> Le 16/05/2025 à 12:01, Julien Arlandis a écrit : >>>>> >>>>>> >>>>>> C'est quoi le résultat unique de exp(2iπ)^(1/2) ? Efji dit qu'il y en >>>>>> a deux : -1 et +1. Je parle pas du résultat de la branche principale >>>>>> qui relève de l'arbitraire pur. >>>>>> >>>>> >>>>> Je n'ai pas dit ça. >>>>> J'ai juste dit qu'il y avait deux racines de l'unité dans \C (qui sont >>>>> réelles en l'occurrence) comme il y a n racine niemes de l'unité. >>>>> Ensuite, quand on a une expression écrite de cette façon dans un >>>>> calcul, exp(2iπ)^(1/2), alors le résultat est simplement exp(iπ) = -1. >>>> >>>> Donc exp(2iπ)^(1/2) ≠ exp(4iπ)^(1/2) ? >>>> Oui ou non ? >>> >>> oui >> >> Je dirais plutôt non. L'écrire est trompeuse parce qu'elle laisse penser que >> z->z^(1/2) est une fonction de Z dans Z, alors que c'est une fonction de Z dans >> P(Z) >> >> exp(2iπ) = exp(4iπ) = 1 > > Pour moi ce sont pas les mêmes nombres, ils ont même module mais pas le même > argument et comme cette quantité intervient dans les opérations sur les > exposants, je vois mal comment on peut affirmer aussi catégoriquement que les > deux nombres sont équivalents. Ce sont les *mêmes* nombre. L'argument est défini modulo 2*pi (c'est un peu normal pour un... angle) > Je vois deux approches possibles : > 1) on considère que exp(2iπ) = exp(4iπ) et que l'opération ^(1/2) est > bivaluée mais dans ce cas on renonce à la généralisation de (a^x)^y = a^(x*y). On n'y renonce pas : les valeurs (au pluriel) sont les mêmes des deux côtés, deux valeurs prises dans deux branches tout ce qu'il y a de plus identiques. > 2) on considère que exp(2iπ) ≠ exp(4iπ) et que l'opération ^(1/2) est > monovaluée et dans ce cas la on peut généraliser (a^x)^y = a^(x*y) à x et y > complexes. Il est totalement impossible de considérer que exp(2iπ) ≠ exp(4iπ) ! Les deux expressions qualifient exactement la même classe d'équivalence dans C = R[X]/(X^2 + 1) à savoir celle du polynôme constant 1 ! >> En ne perdant pas de vue la multivaluation de z->z^(1/2) >> >> exp(2iπ)^(1/2) = exp(4iπ)^(1/2) = 1^(1/2) = { -1, 1 } > > C'est bizarre d'écrire ça, on peut construire aucune arithmétique avec un > truc pareil non ? Qu'est-ce que tu appelles "arithmétique" dans ce contexte ?