Path: news.eternal-september.org!eternal-september.org!feeder3.eternal-september.org!news.gegeweb.eu!gegeweb.org!pi2.pasdenom.info!from-devjntp Message-ID: JNTP-Route: nemoweb.net JNTP-DataType: Article Subject: Re: Racines multiples References: <10076t3$3nvm7$3@dont-email.me> <8EIpqsz4gfsiBsLm-EeGOJs7YQg@jntp> <6Ig1KMKv5wEM8slibqYJTLerO44@jntp> <4dE8VTtpI8uQM-auhOkbeUvkvRk@jntp> Newsgroups: fr.sci.maths JNTP-HashClient: H8SNK4p3hc4rb0X6nJkC4IUqYrM JNTP-ThreadID: UO5aBGj8dCTWrv33spw4emlnKjs JNTP-ReferenceUserID: 190@nemoweb.net JNTP-Uri: https://www.nemoweb.net/?DataID=AxVG_jlHSRUYnN8Gh9rAHKPPaI8@jntp User-Agent: Nemo/1.0 JNTP-OriginServer: nemoweb.net Date: Fri, 16 May 25 15:26:03 +0000 Organization: Nemoweb JNTP-Browser: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:128.0) Gecko/20100101 Firefox/128.0 Injection-Info: nemoweb.net; posting-host="71962ec0b262db26e9002693f4d52627a6dd14a2"; logging-data="2025-05-16T15:26:03Z/9312873"; posting-account="190@nemoweb.net"; mail-complaints-to="julien.arlandis@gmail.com" JNTP-ProtocolVersion: 0.21.1 JNTP-Server: PhpNemoServer/0.94.5 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit X-JNTP-JsonNewsGateway: 0.96 From: Python Le 16/05/2025 à 16:51, Python a écrit : > Le 16/05/2025 à 15:40, Julien Arlandis a écrit : >> Le 16/05/2025 à 14:31, Python a écrit : >>> Le 16/05/2025 à 14:05, Julien Arlandis a écrit : >>> ... >>>>>>> Je dirais plutôt non. L'écrire est trompeuse parce qu'elle laisse penser que >>>>>>> z->z^(1/2) est une fonction de Z dans Z, alors que c'est une fonction de Z dans P(Z) >>>>>>> >>>>>>> exp(2iπ) = exp(4iπ) = 1 >>>>>> >>>>>> Pour moi ce sont pas les mêmes nombres, ils ont même module mais pas le même >>>>>> argument et comme cette quantité intervient dans les opérations sur les exposants, je >>>>>> vois mal comment on peut affirmer aussi catégoriquement que les deux nombres sont >>>>>> équivalents. >>>>> >>>>> Ce sont les *mêmes* nombre. L'argument est défini modulo 2*pi (c'est un peu >>>>> normal pour un... angle) >>>> >>>> L'argument ne me convainc pas car si tu développes e^x en série entière la >>>> notion d'angle disparait. >>> >>> Définie de toutes les façons que tu veux, y compris par une série entière, >>> il reste que z->exp(z) est périodique de période 2pi. >>> >>>>>> Je vois deux approches possibles : >>>>>> 1) on considère que exp(2iπ) = exp(4iπ) et que l'opération ^(1/2) est >>>>>> bivaluée mais dans ce cas on renonce à la généralisation de (a^x)^y = a^(x*y). >>>>> >>>>> On n'y renonce pas : les valeurs (au pluriel) sont les mêmes des deux côtés, >>>>> deux valeurs prises dans deux branches tout ce qu'il y a de plus identiques. >>>> >>>> Si on y renonce pas, comment tu passes de exp(4iπ)^(1/2) = exp(2iπ) à la >>>> valeur -1 ? >>> >>> -1 \in {-1, 1} >> >> Je comprends pas comment tu peux obtenir la valeur -1 si tu valides cette >> généralisation : >> (a^x)^y = a^(x*y) >> Est ce que tu es d'accord avec exp(4iπ)^(1/2) = exp(4iπ*1/2) = exp(2iπ) = 1 ? > > La série de vidéos qui suit celle que j'ai indiquée (en particulier > https://www.youtube.com/watch?v=Lh6rHAiY9KE mais aussi les suivantes) éclaircit > très bien le sujet. > > Si on reste en multivalué il n'y a pas de problème : z^(1/2) = exp(4iπ)^(1/2) > = exp(4iπ*1/2) = {-1, 1}, il y a deux points (z, 1 + 0i ) et (z, -1 + 0i) sur la > surface de Riemann de z->z^(1/2) et ce sont les mêmes quel que soit la façon > dont tu exprimes z en polaire. > > Si on tient à avoir une fonction monovaluée il faut faire un choix : se > restreindre à une partie de l'ensemble d'arrivée (pour z->z^(1/2), Re(z) > 0 > convient, mais on peut faire d'autres choix) ce qui va introduire un choix sur la > phase modulo 2pi sur l'antécédent qui manifeste la coupure de branche (choix de > [-pi, pi] dans le cas de Re(z) > 0, la coupure étant alors la demi-droite des > réels négatifs, mais c'est la conséquence du choix initial). Avec ce choix la > valeur -1 est exclue dans tous les cas pour le résultat de z->z^(1/2). La règle > exp(i*theta*pi)^(1/2) = exp(i*theta*pi/2) reste valable à condition d'avoir pris > theta dans l'intervalle correspondant au choix de la coupure. Ce qui est bien montré là (et justement pour w = z^(1/2)) : https://www.youtube.com/watch?v=6ecPpRUTieg C'est un choix *d'écriture* qui est fait sur l'antécédent z, pas un choix de valeur. Et c'est équivalent, cependant, à un choix de *valeurs* sur w. Ce qui est logique ici, la surface de Riemann de z->z^(1/2) recouvre *deux* fois C, elle a deux feuillets. Avec le log c'est carrément à une infinité dénombrable de feuillets.