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From: Michel Talon <talon@niobe.lpthe.jussieu.fr>
Subject: Theoreme de Wedderburn
Date: Mon, 13 Sep 2021 15:37:58 +0200
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Bonjour,

pour changer des sujets débiles, je vous propose en une collection 
d'exercices la démonstration du théorème de Wedderburn: "tout corps
fini est commutatif". Je suis tombé dessus en feuilletant mes vieilles
notes de cours de Spé (professeur M. Bérard) qui l'avait donnée comme
illustration du cours sur les espaces vectoriels. Ce théorème est 
souvent cité mais je ne vois pas sa démo dans les bouquins usuels, donc
je trouve utile de la citer ici.

Soit K un corps fini, supposé non commutatif et K* le groupe 
multiplicatif des éléments inversibles égal à K-0 et enfin Z le centre
(éléments commutant à tout le monde, contenant 0). On commence comme 
pour le théorème de Sylow.

1) Pour s dans K* on considère g_s(x)=s^{-1}xs. C'est un automorphisme 
de corps et g_{st}=g_s°g_t.  Le stabilisateur S_x de x, l'ensemble des s 
tels que g_s(x)=x est un sous groupe de K*, et l'orbite de x est en 
bijection avec K*/S_x. Enfin K* se décompose en une collection d'orbites 
disjointes. Noter que S_x union {0} est un corps contenant Z. Noter que 
Z contient au moins 0 et 1.

2) Si on a deux corps finis K et Z avec K contenant Z, K a une dimension 
finie n sur Z donc si q= card(Z) alors card(K)=q^n. Si on a trois corps
K contenant S contenant Z alors si la dimension de S sur Z est d et 
celle de K sur S est d1 alors celle de K sur Z est n=d d1 et donc d 
divise n.

3) Déduire de 1 et 2 qu'on a une formule du type:

(q^n-1) = (q-1)+ sum_d (q^n-1)/(q^d -1)

où d court sur un certain nombre de diviseurs de n. Le premier terme 
correspond au centre le reste aux orbites non triviales. En fait une 
telle formule est impossible comme on va le voir.

4) Pour n donné considérons les racines primitives n èmes de 1 c'est à 
dire telles qu'élevées à une puissance moindre que n elles ne donnent 
pas 1, et formons le "polynôme cyclotomique" Q_n(x) = prod(x-a_j) où les 
a_j courent sur ces racines *primitives*
Evidemment (q^n-1) est un produit de polynômes cyclotomiques 
Q_1(x)...Q_n(x) en fonction de l'ordre des racines qui apparaissent. 
Tous ces polynômes sont unitaires ( commencent en x^j+ ...) et donc se 
déduisent par récurrence par division euclidienne de polynomes 
unitaires. En déduire que pour tout n Q_n(x) est à coefficients entiers
En particulier Q_n(q) est entier.

5) (q^n-1)/(q^d -1) est un produit de Q_j(q) contenant au moins Q_n(q).
En déduire que Q_n(q) divise (q^n-1) et sum_d (q^n-1)/(q^d -1)
et donc divise q-1.

6) Ceci est impossible car si Q_n(x) = prod(x-a_j)  où les a_j sont
sur le cercle trigonométrique alors que q est entier > 1 alors pour tout 
j on a |q-a_j| > [q-1| donc |Q_n(q)|> |q-1|^deg(Q_n).
CQFD


Le professeur Bérard était "super chargé" donc tout ça a du lui prendre 
10 minutes .... à la fin de son cours.

-- 
Michel Talon