Path: ...!news.mixmin.net!proxad.net!feeder1-2.proxad.net!usenet-fr.net!.POSTED!not-for-mail
From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?[SOLUTION]_solve_a_+_k_b_~_entier_=28_i.e._=c3=a0_moins_d?=
 =?UTF-8?Q?'epsilon_d'un_entier_=29?=
Date: Fri, 10 Nov 2023 17:28:23 +0100
Organization: There's no cabale
Lines: 42
Message-ID: <uilln7$2feq$1@cabale.usenet-fr.net>
References: <654d3788$0$25951$426a74cc@news.free.fr>
 <uijf77$1sk1$1@cabale.usenet-fr.net>
NNTP-Posting-Host: 200.89.28.93.rev.sfr.net
Mime-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit
X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1699633703 81370 93.28.89.200 (10 Nov 2023 16:28:23 GMT)
X-Complaints-To: abuse@usenet-fr.net
NNTP-Posting-Date: Fri, 10 Nov 2023 16:28:23 +0000 (UTC)
User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:52.0) Gecko/20100101
 Firefox/52.0 SeaMonkey/2.49.4
In-Reply-To: <uijf77$1sk1$1@cabale.usenet-fr.net>
Bytes: 2784

Le 09/11/2023 21:25, je répondais à robby :
>> 
>> soit a,b deux réels positifs.
>> je cherche k entier
>> tel que a + k b soit à moins de epsilon d'un entier.
>> 
>> → combien vaut k ?
> 
> - si b est irrationnel, le calcul de la fraction continuée de b permet de
>  trouver très vite une approximation par un rationnel p/q avec une précision
>  inférieure à 1/q² :
> <https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue_et_approximation_diophantienne#Th%C3%A9or%C3%A8me_de_meilleure_approximation_rationnelle>.

Parmi toutes les approximations de cette forme, considérons la première trouvée
pour laquelle q est supérieur à 1/ε. On a alors :
 0 < |b − p/q| < 1/q² < ε/q
d'où :
 0 < |q⋅b - p| < ε
et donc q⋅b est à une distance (non nulle) inférieure à ε d'un entier.

Considérons maintenant, pour un entier m donné, la différence entre m(q⋅b - p)
et (m + 1)(q⋅b - p). Cette différence vaut |q⋅b - p| qui est non nulle mais
inférieure à ε.

Donc, en partant de a et en y ajoutant (q⋅b - p), puis 2(q⋅b - p), 3(q⋅b - p),
4(q⋅b - p), et ainsi de suite, tu obtiens une série de nombres dont chacun est
à moins de ε du précédent. Il y en a forcément un, pour un entier k donné, tel
que a + k(q⋅b - p) est à une distance inférieure à ε d'un entier.

Vu que p est lui-même un entier, ajouter k⋅p au résultat ne change pas la
distance aux entiers, d'où le résultat :
 a + (k⋅q)⋅b est à une distance inférieure à ε d'un entier.

CQFD.


Rappel : ceci ne vaut que si b est irrationnel, parce que si b est rationnel
voire entier il est possible que le problème n'ait pas de solution pour
certaines valeurs de a et de ε.

-- 
Olivier Miakinen