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Date: Sun, 12 Mar 2023 23:31:37 +0100
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Subject: =?UTF-8?Q?Re=3a_Equation_r=c3=a9cipropque?=
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From: Michel Talon <talon@niobe.lpthe.jussieu.fr>
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Le 12/03/2023 à 22:56, Olivier Miakinen a écrit :
> [réponse dans fr.sci.maths seul]
> 
> Bonjour,
> 
> Le 12/03/2023 15:59, Richard Hachel a écrit :
>>
>> [1] t=(x/c).sqrt(1+2c²/ax)
>>
>> Il s'agit maintenant de trouver la fonction réciproque.
>>
>> [2] x=(c²/a)[sqrt(1+(a.t/c)²)-1]
> 
> N'étant pas physicien, je me suis amusé à partir du membre de droite de [2]
> et d'y remplacer t par son expression d'après [1], parce que je doutais un
> peu de la possibilité de se débarrasser de la racine carrée.
> 
> Mais après quelques calculs je me suis rendu compte que sous la racine
> carrée on obtient : (ax/c²)² + 2(ax/c²) + 1, c'est-à-dire le carré de
> ((ax/c²) + 1). Finalement on trouve bien que le tout est égal à x.
> 
> J'ai essayé de faire aussi l'inverse, à savoir partir du membre de droite
> de [1] et d'y remplacer x pour voir si on retombe bien sur t, mais là je
> me suis perdu dans les calculs. Je réessaierai à l'occasion.
> 
> 

La réponse directe et inverse se trouve dans le calcul maxima suivant:

(%i1) t=(x/c)*sqrt(1+2*c^2/a/x);
                                          2
                                       2 c
                                  sqrt(---- + 1) x
                                       a x
(%o1)                        t = ----------------
                                         c
(%i2) solve(%,x);
                                        c t
(%o2)                       [x = ----------------]
                                                2
                                       a x + 2 c
                                  sqrt(----------)
                                          a x
(%i3) %^2;
                                         2  2
                                  2   a c  t  x
(%o3)                          [x  = ----------]
                                               2
                                      a x + 2 c
(%i4) solve(%,x);
                      2  2    2     2              2  2    2     2
              c sqrt(a  t  + c ) + c       c sqrt(a  t  + c ) - c
(%o4) [x = - -----------------------, x = -----------------------, x = 0]
                         a                            a
(%i5) solve(%[2],t);
              2
Is c (a x + c ) positive, negative or zero?

p;
                                    2                      2
                             2   2 c  x             2   2 c  x
                       sqrt(x  + ------)      sqrt(x  + ------)
                                   a                      a
(%o5)          [t = - -----------------, t = -----------------]
                               c                      c

Evidemment en choisissant les réponses positives. Il faut regarder ces 
formules avec des fontes à largeur fixe.



-- 
Michel Talon