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Subject: Re: Biaiser les =?UTF-8?Q?probabilit=C3=A9s?=
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
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Lines: 67

Le 30/01/2024 à 14:21, Olivier Miakinen a écrit :
> Le 30/01/2024 13:21, Julien Arlandis a écrit :
>> 
>> Es tu sûr de ta formule ?
> 
> Maintenant oui, d'autant plus que les chances que je me sois trompé mais
> que je tombe sur une formule hyper-compliquée dont le résultat soit par
> hasard exactement égal à un demi, ces chances sont assez minces !
> 
> Voici mon raisonnement.
> 
> Pour commencer, déterminons ce qu'est une situation gagnante avec cette
> stratégie. Je note G le fait de découvrir une case gagnante et P celui
> de découvrir une case perdante.
> 
> Pour que tu paries, il faut que tu découvres un P, et que ce soit la
> première fois que le nombre de P devient strictement supérieur au nombre
> de G. Cela veut dire que la séquence juste avant ce P contient autant de
> G que de P (notons k ce nombre de G et de P), et qu'à tout moment il y a
> eu dans cette séquence au moins autant de G que de P.
> 
> Cette séquence de longueur 2k est un mot de Dyck, avec des G à la place
> des X et des P à la place des Y :
> <https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Catalan#Mots_de_Dyck>.
> Le nombre de mots de Dyck de longueur 2k est exactement le nombre de
> Catalan d'indice k, soit (2k)!/k!/(k+1)!, et c'est bien sûr un entier.
> 
> Pour que tu paries à ce moment-là, il faut que ce mot de Dyck soit
> suivi par un P, et pour que tu gagnes il faut que ce P soit suivi par
> un G. Voici un exemple de combinaison gagnante : "GGPGPPPG" où le
> début "GGPGPP" est un mot de Dyck et la fin est invariablement "PG".
> 
> Calculons les probabilités d'obtenir cette combinaison particulière, ça
> donnera une idée du cas général.
> − premier G : n/(2n)
> − deuxième G : (n-1)/(2n-1)
> - premier P : n/(2n-2)
> - troisième G : (n-2)/(2n-3)
> - deuxième P : (n-1)/(2n-4)
> - troisième P : (n-2)/(2n-5)
> - quatrième P : (n-3)/(2n-6)
> - quatrième G : (n-3)/(2n-7)
> 
> Aux numérateurs, on a deux fois n, deux fois (n-1), deux fois (n-2) et deux
> fois (n-3), même si c'est dans le désordre.
> Aux dénominateurs, on a tous les nombres de 2n à 2n-7, dans l'ordre.
> De façon assez évidente, on peut voir que pour tout autre nombre de Dyck
> de même longueur on aura les mêmes numérateurs (quoique dans un ordre
> différent) et les mêmes dénominateurs (dans le même ordre).
> 
> Et donc, la probabilité de gagner suite à "un" mot de Dyck de longueur 2k
> donné, c'est le carré de n(n-1)...(n-k) divisé par (2n)(2n-1)...(2n-1-2k).
> 
> Il faut sommer ça sur tous les mots de Dyck de toutes les longueurs possibles,
> sachant que pour la longueur 2k le nombre de mots de Dyck correspondant est
> le nombre de Catalan d'indice k.
> 
> Un petit peu de manipulation algébrique, et on arrive à la formule que j'ai
> donnée.

Le raisonnement me semble joli mais comment résous tu le paradoxe suivant 
:
À la seule exception du cas où l'on gratte N-1 case, au moment de la 
mise il reste toujours une case gagnante de plus à gratter que de cases 
perdantes parmi les cases restantes ? Intuitivement, on s'attend donc à 
ce qu'au moment de la mise on ait plus de chances de tomber sur un gain 
que sur une perte et donc que la probabilité de gain soit supérieure à 
1/2. Comment l'expliques tu ?