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Le 27/10/2022 à 14:59, Michel Talon a écrit :
> Je recours à un argument tordu. Posant x=-1/2+xi et y=-1/2+eta
> comme 16^-1/4=1/2 l'équation s'écrit
> 1/2[ 16^xi² 16^(eta -xi) + 16^eta² 16^(xi-eta) ] =1
              ^^^^^^^^^^^^
on a x²+y = (-1/2+xi)²-1/2+eta = 1/4 - xi + xi² -1/2 + eta       = -1/4 
+ xi²  + eta - xi
et x+y² = -1/2 + xi + (eta - 1/2)² = -1/2 + xi + eta² -eta + 1/4 = -1/4 
+ eta² - eta + xi

ok, c'est bon

> La somme des deux termes exponentiels vaut donc 2 tandis que le produit vaut
> p= 16^(xi²+eta²)

ok

> Ils sont donc solution réelles de l'équation du second degré  u^2 -2u 
> +p=0 dont le discriminant réduit vaut 1-p^2. Il faut donc |p|<1 ce
> qui vu la formule pour p implique xi=eta=0  CQFD

oui ca à l'air ok. Super technique mais ok.

Moi j'ai beaucoup plus simple comme démonstration même si ca fait la 
même chose dans le fond...

... suspens ...
... suspens ...
... suspens ...
... suspens ...
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... suspens ...
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... suspens ...
... suspens ...

On veut que 16^(x²+y) + 16^(x+y²) = 1 qui est une somme qui nous emm**. 
Le truc ici est de passer (encore une fois) par l'inégalité des 
moyennes: (a+b)/2 >= sqrt(ab), donc a+b >= 2 sqrt(ab).

Donc 1 = 16^(x²+y) + 16^(x+y²) >= 2 sqrt( 16^(x²+y) * 16^(x+y²)) = 2 
sqrt(16^(x²+y+x+y²)) = 2 * 16 ^ (x²+x + y²+y)/2 or 2 = 16^(1/4), notre 
inégalité devient: 1 >= 16^(1/2 + x²+x + y²+y)/2 (on exprime tout en 
puissance de la 16 [Lemme de Kronenbourg])

On prends le log base 16 pour y voir plus Claire (qu'est ce qu'elle vient 
faire là?) 

        0 >= 1/2 + x²+x + y²+y = x²+x+1/4 + y²+y+1/4    (car 1/2 = 1/4 
+ 1/4)
        0 >=                     (x+1/2)² + (y+1/2)²

Ce qui impose (x+1/2)² + (y+1/2)² = 0, qui implique tout bêtement 
x=y=-1/2. 

CQFD (sans grosse artillerie, mais un pack de 6. A la votre!)