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Subject: Re: Biaiser les =?UTF-8?Q?probabilit=C3=A9s?=
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
Bytes: 6182
Lines: 90

Le 28/01/2024 à 18:01, efji a écrit :
> Le 28/01/2024 à 17:18, Julien Arlandis a écrit :
>> Le 28/01/2024 à 17:08, efji a écrit :
>>> Le 28/01/2024 à 13:59, Julien Arlandis a écrit :
>>>> Le 28/01/2024 à 13:49, efji a écrit :
>>>>> Le 28/01/2024 à 12:58, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>> Le 28/01/2024 à 12:55, efji a écrit :
>>>>>>> Le 28/01/2024 à 12:49, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>>>> Le 28/01/2024 à 12:42, efji a écrit :
>>>>>>>>> Le 28/01/2024 à 11:11, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>>>>>> Bonjour,
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>> Vous disposiez d'un ticket composé de N cases à gratter, chaque 
>>>>>>>>>> case représente soit un gain soit une perte avec une 
>>>>>>>>>> probabilité de 1/2. Le jeu consiste à miser sur n'importe 
>>>>>>>>>> quelle case non grattée et pour faire votre choix vous avez la 
>>>>>>>>>> possibilité de gratter autant de cases que vous le désirez 
>>>>>>>>>> (dans la limite de N-1 sinon vous ne pouvez plus jouer).
>>>>>>>>>> La question est la suivante : existe t-il une stratégie qui 
>>>>>>>>>> permette de gagner avec une probabilité strictement supérieure 
>>>>>>>>>> à 1/2 ?
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Je ne pense pas.
>>>>>>>>> Si vous faites P tirages préliminaires vous allez avoir en 
>>>>>>>>> moyenne P/2 cases gagnantes et P/2 cases perdantes, donc vous 
>>>>>>>>> retombez sur le problème précédent avec N-P cases.
>>>>>>>>
>>>>>>>> Vous pouvez par exemple prolonger les tirages préliminaires 
>>>>>>>> jusqu'à observer une légère dissymétrie entre les gains et les 
>>>>>>>> pertes, cette dissymétrie ne devrait elle pas se reporter sur les 
>>>>>>>> N-P cases restantes ? Par ailleurs une dissymétrie apparait 
>>>>>>>> nécessairement pour tous les P impairs.
>>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>> Oui mais cette dissymétrie est symétrique :)
>>>>>>> Vous avez autant de chance qu'elle soit du bon côté que du 
>>>>>>> mauvais, donc on ne peut pas l'utiliser pour construire une 
>>>>>>> stratégie.
>>>>>>
>>>>>> Vous pouvez continuer de gratter tant que la dissymétrie n'est pas 
>>>>>> à votre avantage, et vous arrêter dès qu'il y a davantage de pertes 
>>>>>> que de gains.
>>>>>
>>>>> Oui en effet, sauf qu'il y a une probabilité non nulle que ça 
>>>>> n'arrive jamais,
>>>>
>>>> Oui.
>>>>
>>>>> et finalement, en moyenne, cette "stratégie" a exactement la même 
>>>>> probabilité de gain que pas de stratégie.
>>>>
>>>> Quel est le lien logique avec ce qui précède ? Pouvez vous le 
>>>> démontrer ?
>>>
>>> Je l'ai démontré dès ma première réponse!
>>> Oublions qu'on est dans un espace discret avec des entiers pairs et 
>>> impairs car cela n'a aucun intérêt. Disons que N est suffisamment 
>>> grand pour que N/2 et (N+1)/2 soient comparables.
>>>
>>> Après P<N tirages vous avez une probabilité de 0.5 d'avoir tiré plus 
>>> de P/2 cases gagnantes et 0.5 d'avoir tiré moins de P/2 cases 
>>> gagnantes, donc une chance sur 2 qu'il reste plus de gagnantes que de 
>>> perdantes dans les N-P cases restantes et une chance sur 2 qu'il en 
>>> reste moins, et donc on retombe sur le problème de départ sans avoir 
>>> rien gagné (ni perdu).
>> 
>> En négligeant N et N+1 vous négligez surtout la solution. Pour fixer les 
>> choses considérons que N = 50, et je fixe pour stratégie de gratter 
>> autant de cases que nécessaire pour obtenir plus de pertes que de gains, 
>> si au bout de 49 grattages je n'obtiens toujours pas l'avantage je tente 
>> ma chance en misant la dernière case.
>> Sous cette stratégie la probabilité de victoire est elle supérieure à 
>> 1/2 ? Et si oui combien vaut elle ?
> 
> Gratter 49 cases dans un jeu à 50 est assez idiot (et interdit par les 
> règles que vous avez vous même écrites....).
> Voyons les choses autrement : tout est symétrique dans ce problème, donc 
> il n'y a aucune chance de pouvoir faire tomber le balancier plus 
> probablement d'un côté que de l'autre !
> 
> On suppose évidemment N pair. Quel que soit P<N et quels que soient 
> P1+P2=P, la probabilité après P tirages d'avoir découvert P1 gagnants et 
> P2 perdants et la même que la probabilité d'avoir découvert P1 perdants 
> et P2 gagnant. Donc la découverte de P cases ne peut donner l'avantage à 
> aucun des deux.
> 
> Si vous n'êtes pas convaincu et si ça vous amuse, vous pouvez écrire 
> tous les cas possibles avec N=4 par exemple, et P=1 et P=2. La symétrie 
> va vous sauter aux yeux.

Vous n'avez pas compris mon argument, on tourne en rond.