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Subject: Re: Puissance complexe
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
Bytes: 2860
Lines: 31

Le 19/12/2021 à 11:27, pehache a écrit :
> Le 19/12/2021 à 09:47, Julien Arlandis a écrit :
>> Le 19/12/2021 à 09:17, Samuel DEVULDER a écrit :
>>> Le 19/12/2021 à 02:47, Julien Arlandis a écrit :
>>>> Peut on écrire :
>>>> 1^x = (e^(2*i*pi))^x
>>>> = e^(2*i*pi*x)
>>>> = cos(2*pi*x) + i*sin(2*pi*x)
>>>> Pour x réel ?
>>>
>>> x réel ? Ca colle pas au titre où tu parles d'une puissance complexe.
>>>
>>> Ton calcul n'est vrai que pour x entier. Pour les x réels arbitraires 
>>> (négatifs par exemple) ou complexe il faut plutôt passer par la 
>>> définition de a^x = exp(x*ln(a)), donc 1^x = exp(x*ln(1)) or ln(1)=0, 
>>> donc 1^x = exp(x*0) = exp(0) = 1 pour tout x réel ou complexe.
>>>
>>> sam.
>> 
>> La règle (a^b)^c = a^(b*c) s'applique pour b et c réels. Ce qui nous 
>> empêche de passer de la première ligne à la seconde ce serait donc le 
>> fait que b est complexe (b = 2*i*pi) ?
>> 
> 
> La démonstration de cette règle à partir de la définition 
> a^b=exp(b.ln(a)) implique forcément un ln() de complexe à un moment si b 
> est complexe, or un ln() de complexe n'est pas défini de façon univoque, 
> donc je suppose que c'est là que ça coince.

Pourtant quand on calcule (exp(i*pi/2))^i = exp(i^2*pi/2) on applique bien 
la propriété (a^b)^c = a^(b*c). C'est quoi le développement 
généralisé de (a^b)^c lorsque a réel > 0, b complexe, et c réel ?