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Subject: Re: Puissance complexe
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
Bytes: 3514
Lines: 48

Le 24/12/2021 à 00:55, Samuel DEVULDER a écrit :
> Le 23/12/2021 à 19:47, Julien Arlandis a écrit :
>> Je me réponds à moi même.
>> 1^(1/2)+1^(1/3) = exp(iπk) + exp(iπk*2/3)
> 
> Pourquoi serait-ce le même k dans les deux exponentielles ? Tu corrèles 
> deux expressions indépendantes.

Pour que les deux termes soient sur le même "feuillet".

> moi j'aurais dit +/- 1 + exp(iπk*2/3)

Ben non, car +/-1 + +/-1 conduit à 3 valeurs. Voir la discussion sur les 
surfaces de Riemann.

>> Dans cette application il faut distinguer 6 variétés :
>> k = 6n + 0 => +2
>> k = 6n + 1 => -3/2 + i√3/2
>> k = 6n + 2 => +1/2 - i√3/2
>> k = 6n + 3 => 0
>> k = 6n + 4 => +1/2 + i√3/2
>> k = 6n + 5 => -3/2 - i√3/2 
> 
> ok en combinant k1 (période 2) et k2 (période 3), on retrouve ce cycle de 6.

Oui.

>> Si on représente les 6 valeurs dans le plan complexe on obtient une 
>> répartition de points assez bizarre avec une symétrie par rapport à l'axe des 
>> réels. Quelqu'un sait interpréter ce résultat ? 
> 
> Si z = exp(alpha i), vérifie z^n = 1 (z est racine de l'unité), on en 
> déduit en divisant par z^n des deux cotés que 1 = 1/z^n = 1/exp(alpha i) 
> = exp(-alpha i) = cos(alpha) - sin(alpha i) = conjugué(z).
> 
> Bref si un complexe est racine de l'unité, son conjugué l'est aussi (en 
> plus d'être égal à son inverse). Ceci implique que les racines de 
> l'unité sont symétriques par rapport à l'axe réel.
> 
> Cela explique la symétrie verticale que tu observes.
> 
> Quand à l'interprétation géométrique de la figure complète tu as j^k (où 
> j est classiquement la racine 3e de l'unité) qui décrit un triangle 
> équilatéral et donc +/-1 + j^k donne ce triangle équilatéral translaté 
> horizontalement de +/- 1, pour un total de 6 points.
> 
> sam.