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Subject: Re: Puissance complexe
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
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Le 23/12/2021 à 13:55, Julien Arlandis a écrit :
> Le 23/12/2021 à 12:38, Michel Talon a écrit :
>> Le 22/12/2021 à 12:00, Julien Arlandis a écrit:
>>>> Heureusement il existe une solution à cette difficulté qui...a été 
>>>> découverte par Riemann il y a plus de 200 ans: elle consiste à 
>>>> rétablir l'unicité de la valeur de sqrt(z) en doublant pour ainsi dire 
>>>> le domaine de la variable z de façon que les deux valeurs de sqrt(z) 
>>>> correspondent à deux points au lieu d'un seul - trait de génie s'il en 
>>>> fut jamais, qui est à l'origine de la grande théorie des surfaces de 
>>>> Riemann....
>>> 
>>> Je n'ai pas compris ce paragraphe, saurais tu l'expliciter plus 
>>> formellement ?
>> 
>> C'est compliqué à expliquer, je vais prendre un exemple très simple, la 
>> surface de Riemann de x-y^2, c'est à dire de sqrt(x). Il faut d'abord 
>> voir que x et y sont complexes, donc (x,y) représente 4 paramètres 
>> réels, et la condition x-y^2=0 deux conditions réelles donc il reste 
>> bien 2 paramètres réels pour un point de x-y^2=0 , on a affaire à une 
>> surface. A chaque point de la surface correspond un couple (x,y) et on a 
>> 2 projections de la surface sur le plan complexe (x,y) -> x et (x,y) ->y
>> 
>> Considérons la première. Pour chaque valeur de x /= 0 on a deux valeurs 
>> de y et donc deux points de la surface au dessus de x, vis à vis de la 
>> projection. On dit qu'on a un revêtement à 2 feuillets du plan complexe.
>> On introduit une structure complexe sur la surface et disant que x est 
>> un paramètre de coordonnées (complexe) autour du point (x,y) (pour 
>> chacune des deux valeurs de y) On a donc une "pile de deux assiettes"
>> au dessus d'un petit disque autour de x dans C.
>> 
>> Malheureusement ceci ne marche pas en 0 (et infini). Il n'y a qu'une 
>> valeur de y (=0) au dessus de x=0. On dit que c'est un point de 
>> branchement du revêtement, et que celui ci est branché. En fait ce n'est 
>> pas grave car autour du point (0,0) on peut utiliser la deuxième 
>> projection (x,y) -> y et le paramètre local y pour donner des 
>> coordonnées complexes (y^2,y) pour les points autour de (0,0). ceci se 
>> recolle bien avec les coordonnées (x,sqrt(x)) sur les points de la 
>> surface où x=0 et donne donc une structure de variété complexe lisse à 
>> la surface.
>> 
>> Je passe sous silence la compactification à l'infini (en fait on prend 
>> le paramètre 1/x ou 1/y) et l'éventuelle désingularisation qu'il faut y 
>> faire, on obtient un surface complexe compacte lisse, appelée surface
>> de Riemann. Ce que dit Dieudonné c'est que la "fonction" sqrt(x) est en 
>> fait une bonne fonction bien définie suir la surface de Riemann, c'est
>> trivialement la projection (x,y) -> y
>> 
>> Tout ça se généralise sans problème à la surface de Riemann de P(x,y)=0
>> où P est un polynome en x et y, ce qui donne la théorie générale des 
>> fonctions elliptiques, hyperelliptiques, algébriques, etc.
> 
> Je comprends vaguement l'idée qui consiste à modifier le domaine de 
> l'application multivaluée par autant de feuillets que nécessaire. On se retrouve 
> bien avec des applications contenant une seule image au plus mais avec des 
> ensembles de départs différents selon les applications. Pour être pragmatique, 
> si je veux évaluer :
> 1^(1/2)+1^(1/3) je procède comment avec les surfaces de Riemann, la racine 
> cubique ayant un recouvrement de plus que la racine carrée ?

Je me réponds à moi même.
1^(1/2)+1^(1/3) = exp(iπk) + exp(iπk*2/3)
Dans cette application il faut distinguer 6 variétés :
k = 6n + 0 => +2
k = 6n + 1 => -3/2 + i√3/2
k = 6n + 2 => +1/2 - i√3/2
k = 6n + 3 => 0
k = 6n + 4 => +1/2 + i√3/2
k = 6n + 5 => -3/2 - i√3/2

Si on représente les 6 valeurs dans le plan complexe on obtient une 
répartition de points assez bizarre avec une symétrie par rapport à 
l'axe des réels. Quelqu'un sait interpréter ce résultat ?