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From: Samuel DEVULDER <samuel_dot_devulder@laposte_dot_net.invalid>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re=3a_Qui_parviendra_=c3=a0_=c3=a9valuer_cette_expression?=
Date: Sun, 26 Dec 2021 10:38:01 +0100
Organization: Aioe.org NNTP Server
Message-ID: <sq9d5q$1p2t$1@gioia.aioe.org>
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 <sq8087$mjk$1@cabale.usenet-fr.net> <sq80v8$mmm$1@cabale.usenet-fr.net>
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Le 25/12/2021 à 22:38, Olivier Miakinen a écrit :

> Soit l'équation : x = sqrt(8,5 + 1,5⋅sqrt(1+x!))
> 
> Première question : combien de solutions a-t-elle, et lesquelles ?

soit x une solution. x vérifie

	x² = 8.5 + 1.5sqrt(1+x!)
	(x² - 8.5) = 1.5 sqrt(1+x!)

note: cela nous impose x²>=9>8.5, donc x>=3

	(2 x²  -17)/3 = sqrt(1+x!)

On élève encore au carré

	(2x² - 17)²/9 = 1 + x!
	(2x² - 17)²/9 - 1 = x!

Maintenant il est connu que x! croit plus vite que n'importe quel 
polynôme, et que donc il n'y a qu'un nombre fini de x candidats.

Voyons ce que cela donne dans un tableau:

x	:	x!	:	(2x²-17)²/9-1
===============================================
3	:	6	:	-8/9
4	:	24	:	24	*
5	:	120	:	120	*
6	:	720	:	3016/9
7	:	5040	:	728

a partir de x>=7, x! > (2x²-17)²/9-1

Il n'y a donc que 4 et 5 qui satisfassent l'équation.

> Deuxième question : en faire une écriture infinie comme dans ton


x = sqrt(8,5 + 1,5⋅sqrt(1+x!))
   = sqrt(8,5 + 1,5⋅sqrt(1+(sqrt(8,5 + 1,5⋅sqrt(1+x!)))!))
   = sqrt(8,5 + 1,5⋅sqrt(1+(sqrt(8,5 + 1,5⋅sqrt(1+(...)!)))!))

> problème initial, quelle en est alors la solution ?

logiquement 4 et 5, alors que l'expression de droite semble n'être 
exprimée que par des termes constants (fixes) et donc n'avoir qu'une 
seule valeur possible.

Le truc est que le (...) est trompeur. Il signifie en réalité (et dans 
ce cas là) "x" qui peut valoir 4 ou 5 au choix. Bref il cache une 
inconnue masquée.

sam.