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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Pythagore
Date: Sat, 15 Jan 2022 12:01:36 +0100
Organization: There's no cabale
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Le 15/01/2022 11:12, Michel Talon a écrit :
> 
> (b^4-8*a^2*b^2+16*a^4)*r^4+((-2*b^6)+8*a^2*b^4-64*a^6)*r^2+b^8+64*a^8]

C'est-à-dire, en un peu plus lisibles pour nous humains :
 (b⁴ − 8a²b² + 16a⁴)⋅r⁴ + (−2b⁶ + 8a²b⁴ − 64a⁶)⋅r² + (b⁸ + 64a⁸) = 0

Bien que ce soit une équation du 4e degré en r, c'est en fait une équation
du second degré en r², donc plutôt facile à résoudre. Soit dit en passant,
même les termes du premier degré en a et b ont magiquement disparu pour ne
laisser que des produits de a² et b², ce qui est bien puisque a²=2 et 2b²=1.

Ça me donne envie de faire la totalité de la résolution à la main.


J'ai commencé par wolframalpha avec de nouvelles variables A pour a²,
B pour b² et R pour r² :

solve R=A+x²;(x+y)²=4A;z²=A+y²;(z+sqrt(B))²+B=R;A=2;B=1/2; R>0;x>0;y>0;z>0; sqrt(R)

> [...]
> 
> Il semble qu'il y ait 2 solutions positives pour r l'une étant la votre.
> L'autre conduit peut être à x ou y ou z négatif ou imaginaire.

Oui, avec geogebra j'ai vu que ça conduit à avoir le petit triangle pointant
dans l'autre sens, le sommet commun aux deux triangles étant donc à l'extérieur
du cercle.

> [...]
> 
> Donc l'autre solution conduit à z<0.

C'est ça. Autrement dit on remplace b+z par b-|z| dans l'une des équations
(où en réalité c'est |z|-b qui est positif).


-- 
Olivier Miakinen