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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re:_Abscisses_de_discontinuit=c3=a9?=
Date: Mon, 11 Jul 2022 22:26:29 +0200
Organization: There's no cabale
Lines: 40
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Le 11/07/2022 21:55, je me répondais :
> 
> f(x) = floor(x − 2 pi floor(x + 1/2))
> 
> g(y) = f(−1/2 − y) :
> 
> Les points de discontinuité de g(y), outre ceux où y est entier, sont ceux
> où « 2 pi ceil(y) − y » est demi-entier. Ça n'est pas encore un problème
> trivial, mais ça me semble déjà un peu plus simple à étudier.

y n'étant pas un entier, en posant k = ceil(y), je peux écrire y = k − e
avec k entier et 0 < e < 1.

Soit n le nombre entier qui est égal à (2 pi ceil(y) − y − 1/2).

On a :
2 pi ceil(y) − y − 1/2 = n
2 pi k − (k − e) − 1/2 = n
(2 pi − 1)k + e − 1/2 = n
e = n + 1/2 - (2 pi − 1)k
frac(e) = frac(n + 1/2 - (2 pi − 1)k)    (où frac(x) = x − ceil(x))
frac(e) = frac(1/2 - (2 pi − 1)k)        (car n est un entier)
e = frac(1/2 - (2 pi − 1)k)              (puisque 0 < e < 1)

En conclusion, les points de discontinuité y pour g(y) = f(−1/2 − y)
sont les entiers, et aussi tous les nombres de la forme :
 k − frac(1/2 - (2 pi − 1)k)
pour k entier.

À partir de là, on peut revenir à :
  x = −1/2 − y = −1/2 − k + frac(1/2 − (2 pi − 1)k)

D'ailleurs, un changement de variable k -> −k simplifie un peu la formule, et
les points de discontinuité sont alors de la forme :
  x = k − 1/2
  x = k − 1/2 + frac(1/2 + (2 pi − 1)k)


-- 
Olivier Miakinen