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From: maixxx <maixxx07b@orange.fr>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Parabole
Date: Sat, 8 Oct 2022 18:28:08 +0200
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Le 05/10/2022 à 07:39, ast a écrit :
> Bonjour
> 
> On peut définir géométriquement une parabole de ces 2
> manières:
> 
> - Une parabole est la courbe obtenue par l'intersection
> d'un cône et d'un plan parallèle à une génératrice du
> cône
> 
> - Une parabole est l'ensemble des points équidistants
> d'un point F (le foyer) et d'une droite d (la directrice)
> dans le plan défini par F et d.
> 
> Comment montre-t-on l'équivalence entre ces 2 définitions ?
> 
Géométrie analytique dans R² et R³

On peut considérer le cône de sommet O d'axe Oz  et d'équation x²+y² = k²z²

et un plan passant par la droite x=x0 du plan z=0 sans diminuer la généralité
Un tel plan a comme équation  ax+cz = d  avec ax0=d
d'où x=(d-cz)/a et pour le cône
 (d-cz)²/a² + y² = k²z²  ou
d²/a² -2dcz/a² + c²z²/a² +y² -k²z² = 0

pour k²=c²/a²  d²/a² -2dcz/a² +y² =0

C'est l'équation d'une parabole projetée sur plan yOz

C'est un peu tiré par les cheveux mais je n'ai pas pu retrouver de démonstration
"élégante" un peu plus générale sur le web (ou dans ma mémoire) purement
géométrique. Quoique en partant des formules analytiques on doit pouvoir en
donner une "à la Blaise Pascal ("traité des coniques")


Aux erreurs près de calcul