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From: efji <efji@efi.efji>
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Subject: Re: Histoire d'i [WAS] [HS] Re: Windows 95
Date: Wed, 13 Sep 2023 14:08:03 +0200
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 <udqhdg$uv2$1@shakotay.alphanet.ch> <udqkqm$1o4o7$1@dont-email.me>
 <6500e6b7$0$3016$426a74cc@news.free.fr> <uds15e$22sdf$1@dont-email.me>
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Injection-Date: Wed, 13 Sep 2023 12:08:04 -0000 (UTC)
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Le 13/09/2023 à 13:49, Julien Arlandis a écrit :
> Le 13/09/2023 à 13:09, efji a écrit :
>> Le 13/09/2023 à 12:25, Michel Talon a écrit :
>>> Le 13/09/2023 à 11:59, efji a écrit :
>>>>
>>>> On ne parle pas de la racine carrée mais du radical √.
>>>> Cette notation ne s'applique qu'aux réels positifs et est univoque.
>>>
>>> C'est manifestement faux, tout le monde écrit les racines de l'équation
>>> du second degré avec sqrt(delta) pour un delta symbolique, le sqrt étant
>>
>> "tout le monde". Pas dans le mien :)
>> Je fais bien attention à cela auprès des étudiants.
>>
>> La page wikipedia est assez claire là dessus à plusieurs endroits
>> https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e
>>
>> Notion algébrique générale
>> Définition algébrique d'une racine carrée
>> Soient x et a deux éléments d’un anneau A, tels que x^2 = a. L'élément 
>> x est alors une racine carrée de a. La notation √a est néanmoins 
>> souvent déconseillée car il peut exister plusieurs tels éléments x.
>>
>> Racines carrées de nombres complexes
>> ...
>> Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination 
>> principale de la racine carrée dans le plan complexe, la relation
>> {\displaystyle {\sqrt {zz'}}={\sqrt {z}}{\sqrt {z'}}} devient fausse 
>> en général.
>>
>>
>>> représenté par un  radical √.
>>> En ce qui concerne les surfaces de Riemann et la confiture, il se trouve
>>> que ça a été mon domaine de travail pendant des années, donc j'y suis 
>>> sensibilisé. Et je partage l'opinion de Arnold que c'est une des plus 
>>> belles théories des mathématiques, contenant en germe beaucoup de 
>>> théories modernes (étendues au cas de plusieurs variables, et au cas 
>>> de corps plus généraux que C). Je suis convaincu de ce fait que la 
>>> définition univoque  √4 = 2 est sans intérêt autre que d'éviter la 
>>> confusion dans l'enseignement le plus élémentaire.
>>
>> La définition univoque √4 = 2 a un intérêt essentiel: elle permet 
>> d'écrire des expressions algébriques et de faire des calculs!
>> si √4 = \pm 2, alors que vaut
>> \sum_{i=0}^\infty \sqrt{x_i} ?
> 
> Est ce que l'on peut affirmer que sqrt(1) = 1^(1/2) ?
> Si tel est le cas j'en suis resté au fait que 1^(1/2) est multivalué et 
> trouve ses solutions dans {-1; 1}.
> Dans ce cas comment évaluer 1^(1/2) + 1^(1/2) ? Doit on accepter la 
> valeur 0 comme résultat ?
> 

Mais non. Si on prend de telles conventions on ne peut plus rien 
calculer. Essentiellement x^{1/2}=\sqrt{x} (un réel positif)
Parfois on peut accepter la notation x^{1/2} pour x complexe, justement 
pour éviter d'utiliser \sqrt qui est tabou, mais en sachant bien que la 
racine carrée d'un complexe est ambigue.

Pour les mêmes raisons on essaye d'éviter d'écrire \sqrt{A} pour A une 
matrice symétrique réelle définie positive ou hermitienne, bien que l'on 
puisse définir une racine unique par convention (mais il y a plusieurs 
matrices B telles que B^2 = A).


-- 
F.J.