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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re:_La_s=c3=a9rie_des_infinis?=
Date: Wed, 27 Sep 2023 00:13:02 +0200
Organization: There's no cabale
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Le 26/09/2023 20:22, Samuel Devulder a écrit :
>
>> Ma question est un peu plus fondamentale que l'hypothèse du continu. J'aimerais
>> savoir comment on peut prouver qu'il existe réellement un unique « aleph un »
>> qui soit « le plus petit » infini strictement supérieur à aleph zéro, et plus
>> généralement que pour un « aleph n » donné l'ensemble des infinis strictement
>> plus grands que aleph n admette un plus petit élément appelé « aleph n+1 ».
> 
> J'ai l'impression que ca revient à décider si les infinis sont 
> dénombrables ou pas.

Non, pas forcément. Par exemple l'ensemble des rationnels strictement
supérieurs à 0 est dénombrable, il est borné par 0, mais il n'a pas de
plus petit élément.

Il en va de même de l'ensemble des nombres de la forme 1/(2^n) pour n
entier positif. Note que cet ensemble a même un plus grand élément mais
pas de plus petit élément.

Or, si l'on peut affirmer l'existence de « aleph (n+1) », c'est bien que
l'ensemble des alephs strictement plus grands que « aleph n » possède un
plus petit élément ! Voilà exactement ce qui me pose question : comment
Cantor pouvait-il en être sûr, en comment tous les mathématiciens peuvent
continuer à en être sûrs ?

> [...]
> 
> D'ailleurs pourquoi parle-ton d’hypothèse due *continu* alors qu'on ne 
> fait qu'envisager l'existence d'un infini (un seul!) entre aleph_0 et 
> aleph_1.

???

D'une part, il semble prouvé que la définition de aleph_1 est valide,
c'est-à-dire qu'il n'existe *aucun* autre infini possible entre ce qu'on
appelle aleph_0 et ce qu'on appelle aleph_1.

D'autre part, l'hypothèse du continu est que « aleph_1 = 2^aleph_0 »
c'est-à-dire qu'il n'existe aucun autre infini entre le cardinal de
N (aleph_0) et le cardinal de R (2^aleph_0), mais sa négation ne dit
absolument pas qu'il devrait exister un seul aleph entre les deux,
c'est-à-dire que l'on aurait « 2^aleph_0 = aleph_2 » ! Sauf erreur
de ma part, il pourrait même exister une infinité d'alephs entre
aleph_0 et 2^aleph_0. En revanche il semble prouvé que cet ensemble,
même s'il est infini, possède un plus petit élément : celui que l'on
nomme aleph_1.

Et c'est bien ma question : comment prouve-t-on ce résultat ?

> Pourquoi un seul d'abord ? pourquoi pas 2, 3 ou une quantité 
> dénombrable entre les deux ? Et quid d'une quantité indénombrable entre 
> aleph_0 et aleph_1 ?

Donc non, il y a zéro éléments entre aleph_0 et aleph_1, mais je ne
crois pas que l'on rejette la possibilité d'une infinité d'éléments
entre aleph_0 et 2^aleph_0.

> Ca rejoint exactement tes interrogations.

Euh... ben non, du coup.


-- 
Olivier Miakinen