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From: efji <efji@efi.efji>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Vitesse d'une moto autour d'un camion
Date: Sun, 8 Oct 2023 10:34:22 +0200
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 120
Message-ID: <uftpif$307pj$1@dont-email.me>
References: <5cb27064-fa94-4526-8d56-320bf41ee455n@googlegroups.com>
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 <8e18fc7d-eb5e-4119-896c-200229466d74n@googlegroups.com>
 <ufrurc$2f3st$1@dont-email.me>
 <980f83d7-5c27-434b-908b-4f169528242dn@googlegroups.com>
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MIME-Version: 1.0
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Injection-Date: Sun, 8 Oct 2023 08:34:23 -0000 (UTC)
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Bytes: 7442

Le 07/10/2023 à 22:38, Yanick Toutain a écrit :
> Le samedi 7 octobre 2023 à 22:34:19 UTC+2, efji a écrit :
>> Le 07/10/2023 à 22:13, Yanick Toutain a écrit :
>>> Le samedi 7 octobre 2023 à 17:52:14 UTC+2, efji a écrit :
>>>> Le 07/10/2023 à 16:24, Yanick Toutain a écrit :
>>>>> Le samedi 7 octobre 2023 à 10:07:37 UTC+2, efji a écrit :
>>>>>> Le 06/10/2023 à 22:40, Yanick Toutain a écrit :
>>>>>>> Pendant 10h le passager d'un camion voit une moto tourner autour du camion.
>>>>>>> Il calcule que la vitesse de révolution de la moto est
>>>>>>> v = 1 km/h
>>>>>>> Seulement voilà, le camion n'est pas immobile. Pendant ces dix heures, il a roulé à une vitesse
>>>>>>> S = 100 km/h
>>>>>>> La question est (bien évidemment par rapport à la route)
>>>>>>> quelle est la longueur du trajet de la moto.
>>>>>>> Et donc quelle a été T la vitesse moyenne de la moto.
>>>>>>> Et donc quelle est la valeur de T - S (en fonction de S et de v)
>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>> Question subsidiaire : Est-ce que la formule approximative donnant le résultat et/ou la démonstration rigoureuse apparaissent quelque part dans un ouvrage de physique depuis 3 siècles ?
>>>>>>>
>>>>>>> ChatGPT vient de corriger la démonstration de Bard.
>>>>>>> Je les publierai quand d'éminents mathématiciens auront posé leurs lumières sur ce trivial exercice (dont les conséquences en physique seront gigantissimes)
>>>>>>>
>>>>>>> confer problème idem en fr.sci.physique il y a deux mois.
>>>>>>> Sans réponse sérieuse.
>>>>>>> https://groups.google.com/g/fr.sci.physique/c/PkjZXe9y2FQ
>>>>>> Il manque un paramètre : le rayon r du cercle que décrit la moto dans le
>>>>>> référentiel du camion. Ensuite on écrit facilement avec une intégrale la
>>>>>> longueur du chemin décrit par la moto dans le référentiel de la route,
>>>>>> mais cette intégrale n'est pas calculable explicitement car elle est de
>>>>>> la forme \int \sqrt{a+b\sin(t)} dt
>>>>>> avec a différent de b.
>>>>>>
>>>>>> On peut en faire un développement limité car a>>b et on obtient la
>>>>>> solution développée en fonction de vr^2/S << 1.
>>>>>>
>>>>>> Un petit exercice de math sup pas très difficile.
>>>>>>
>>>>>> -- 
>>>>>> F.J.
>>>>> Merci de participer.
>>>>> Il ne manque aucun paramètre et c'est là une des principales subtilités du problème.
>>>>> Mais vous pouvez évidemment choisir arbitrairement un rayon (par exemple r = 10 (m) pour homogénéiser avec les réponses d'autres souhaitant absolument avoir un tel rayon. Vous en choisirez un autre r2= 20 m pour comparer vos résultats)
>>>>> Cela fait des années que je le pose à des "vrais" gens bac+x qui ne le trouvent pas "pas difficile "
>>>>> Seuls Bard puis ChatGPT (après des heures d'explication de ma part) ont trouvé le bon résultat avec une démonstration qui me semble ne pas contenir de bug logique
>>>> Exact pour r. J'avais fait une petite erreur de calcul dès le début dans
>>>> la vitesse angulaire :)
>>>>
>>>> Donc finalement la réponse est S, tous calculs faits. C'est troublant au
>>>> premier abord, mais on comprend très vite ce qui se passe : si la route
>>>> est selon x, la moyenne de la composante en y de la vitesse de la moto
>>>> est évidemment 0 et la moyenne de la vitesse selon x est aussi
>>>> évidemment S. Attention ces deux moyennes des composantes de la vitesse
>>>> ne prouvent pas le résultat : en effet imaginons un objet sur une
>>>> glissière fixée au pare-choc (donc qui suit le mouvement du camion en x)
>>>> et qui oscille de droite à gauche selon y, on aurait les mêmes moyennes
>>>> que dans le cas de l'orbite circulaire mais une vitesse moyenne globale
>>>> différente de S, probablement \sqrt{S^2+v^2}. C'est le mouvement
>>>> circulaire de la moto dans le référentiel du camion qui donne ce
>>>> résultat étonnant.
>>>>
>>>> -- 
>>>> F.J.
>>>
>>> Supposez une fuite d'huile avec une goutte qui tombe sur la route tous les 10 mètres.
>>
>>
>>> Quel serait le tracé des gouttes pour la moto ?
>> Il ne faut pas parler de mètres mais de secondes !
>> Le tracé de la trajectoire est une petite ondulation autour le la
>> droite, d'équation (ici on a besoin du rayon r !)
>>
>> x(t) = St + r \cos(\theta't)
>> y(y) = r \sin(\theta't)
>>
>> \theta' = 2\pi v/r
>>> Ou encore, imaginez la consommation totale d'essence.
>>> Supposez-vous que la moto aura consommé autant que le camion ?
>>> (on suppose L litres au 100 pour les deux)
>>>
>>> Il y a en effet des "raccourcis mathématiques" conceptuels qui donnent des résultats (faux) étranges.
>>> Encore une fois c'est l'intérêt de ce problème.
>>> Je n'ai jamais trouvé trace de la formule du résultat final (T vitesse moyenne de la moto) pour v bien plus petit que S
>>> T = S + ?
>> Si on moyenne sur un nombre entier de rotations (et de nouveau ici on a
>> besoin de r), le terme du premier ordre tombe car on a en facteur
>> \int \sin(\theta't) dt = 0
>>
>> Donc on a
>>
>> T = S + C (v/S)^2 + o((v/S)^3)
>>
>> le terme suivant est d'ordre 4 (d'où le "o") car de nouveau le terme en
>> \int \sin(\theta't)^3 dt = 0 si on moyenne sur un nombre entier de périodes.
>>> La formule donnant T je ne l'ai jamais vue nul part ailleurs que dans mes propres calcul.
>> Ne vous surestimez pas, c'est à la portée de tout étudiant correct en
>> math sup :)
>>> Les AI IA Bard et ChatGPT ne la connaissent pas dans leurs archives.
>> Elles ne peuvent pas (encore) inventer des choses pareilles, sauf si on
>> les aide un peu.
>>> Ils n'ont aucune idée de QUI aurait bien pu faire de tels recherches.
>> "recherches" :)
>>
>> -- 
>> F.J.
> Vous annoncez quelle vitesse ? Et quelle longueur supplémentaire parcourue par la moto ?
> T = S + C (v/S)^2 + o((v/S)^3)

Si on calcule sur une période de révolution de la moto tau on obtient 
avec vos notations (T est une bien mauvaise notation pour une vitesse 
moyenne) :

T = S + 3\pi^2 S (v/S)^2 + S O((v/S)^4)

et donc la longueur parcourue par la moto sera T*tau

-- 
F.J.