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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re:_solve_a_+_k_b_~_entier_=28_i.e._=c3=a0_moins_d'epsilo?=
 =?UTF-8?Q?n_d'un_entier_=29?=
Supersedes: <uijf10$1si5$1@cabale.usenet-fr.net>
Date: Thu, 9 Nov 2023 21:25:10 +0100
Organization: There's no cabale
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Message-ID: <uijf77$1sk1$1@cabale.usenet-fr.net>
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[Supersedes <uijf10$1si5$1@cabale.usenet-fr.net>]

Bonjour,

Le 09/11/2023 20:48, robby a écrit :
> 
> soit a,b deux réels positifs.
> je cherche k entier
> tel que a + k b soit à moins de epsilon d'un entier.
> 
> → combien vaut k ?

Problème intéressant. Je n'ai pas encore de solution générale mais
je vais y réfléchir. Cela dit, voici déjà quelques pistes de réflexion.

Tout d'abord, sans perte de généralité, on peut remplacer a et b par
leur partie fractionnaire, soit respectivement a − ⌊a⌋ et b − ⌊b⌋,
avec donc 0 ≤ a < 1 et 0 ≤ b < 1.

Par ailleurs, si b est déjà un entier, alors quelle que soit la valeur
de k tu ne pourras jamais t'approcher davantage d'un entier que ne l'est a.

Enfin, si a est un entier mais que b ne l'est pas :
- si b est rationnel de la forme p/q, il suffit de prendre k = q pour
 tomber pile sur un nombre entier ;
- si b est irrationnel, le calcul de la fraction continuée de b permet de
 trouver très vite une approximation par un rationnel p/q avec une précision
 inférieure à 1/q² :
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue_et_approximation_diophantienne#Th%C3%A9or%C3%A8me_de_meilleure_approximation_rationnelle>.

Il reste le cas où a est un nombre non entier, et là pour le moment je sèche.


Cordialement,
-- 
Olivier Miakinen