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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re:_Biaiser_les_probabilit=c3=a9s?=
Date: Tue, 30 Jan 2024 11:01:19 +0100
Organization: There's no cabale
Lines: 60
Message-ID: <upahdf$ecm$1@cabale.usenet-fr.net>
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 <WIGYsx07m3DG6dcL2jvOfe3i1sA@jntp> <up6btb$1arg$1@cabale.usenet-fr.net>
 <Q6obnXg5HnO88LgOL2sxykZiUWc@jntp> <up8lej$2eah$1@cabale.usenet-fr.net>
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 <frOm3MdS62za7-JTcGughujiCL8@jntp>
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Le 30/01/2024 10:13, Julien Arlandis a écrit :
>> 
>> Je vais te demander de le vérifier toi-même avec un script sans tirage
>> aléatoire. Mais peut-être qu'un fan d'outil de calcul formel pourrait le
>> faire plus facilement.
> 
> Je viens d'identifier un problème avec la méthode qui mélange 
> aléatoirement le tableau équilibré, si j'applique plusieurs fois le 
> mélange je n'obtiens plus les mêmes probabilités.
> Qu'entends tu par script sans tirage aléatoire, mon script se contente de 
> parcourir le tableau de gauche à droite.

Je veux dire que c'est juste un calcul direct des probabilités, pas une
expérimentation avec des tirages aléatoires répétés.

> 
>> Selon un raisonnement que j'expliquerai plus tard quand j'en aurai le
>> temps, pour une grille équilibrée de N = 2n nombres, la probabilité de
>> gagner selon ta méthode devrait être :
>> 
>>   proba = somme pour k = 0..n-1 de Ck/(2^(2k+1)) × (n-k)/(2n-2k-1)
>> 
>> où Ck est le k-ième nombre de Catalan :
>> 
>>   Ck = (2k)!/(k!(k+1)!)
>> 
>> Quand tu auras programmé ça, ce serait bien de vérifier ce que ça donne
>> pour quelques valeurs de n, par exemple autour de n = 6 (càd de N = 12).
> 
> J'ai un soucis pour le cas n=2 (N=4), ta formule indique comme résultat 
> une probabilité de gain égale à 11/24.

Vérifions. Pour n=2, on a :

  proba = somme pour k = 0..1 de Ck/(2^(2k+1)) × (n-k)/(2n-2k-1)
        = C0/(2^1) × (2-0)/(4-0-1) + C1/(2^3) × (2-1)/(4-2-1)
        = 1/2 × 2/3 + 1/8 × 1/1
        = 1/3 + 1/8 = 11/24

> Si j'applique mon algorithme en 
> grattant de gauche à droite parmi l'ensemble des grilles permises on 
> obtient les résultats :
> 0 0 1 1 => P
> 0 1 0 1 => G
> 0 1 1 0 => G
> 1 0 0 1 => G
> 1 0 1 0 => P
> 1 1 0 0 => P
> ce qui donne une probabilité de gain de 1/2 ? ? ?

Tu as raison. Mon erreur était de considérer qu'à chaque tirage on avait une
chance sur deux de tirer 1 ou 0, alors qu'avec des grilles équilibrées ce
n'est plus le cas. C'est mon 1/(2^(2k+1)) qui est faux. Je vais y réfléchir
de nouveau pour trouver la formule correcte.

Désolé.


-- 
Olivier Miakinen