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Subject: Re: Puissance complexe
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
Bytes: 3937
Lines: 54

Le 22/12/2021 à 11:44, Michel Talon a écrit :
> Le 21/12/2021 à 09:45, Julien Arlandis a écrit :
>> Le 21/12/2021 à 09:00, Samuel DEVULDER a écrit :
>>> Le 21/12/2021 à 01:01, Julien Arlandis a écrit :
>>>
>>>> Mézalors dans ce cas :
>>>> 2 * sqrt(-1) = 0
>>>
>>> Ben non 2*sqrt(-1) = {-2i, +2i}
>> 
>> sqrt(-1) + sqrt(-1) = {-i, +i} + {-i, +i} = {-2i, 0, +2i}
>> 
>> Ce qui donne un résultat différent de 2*sqrt(-1).
>> 
>> J'en déduis que l'on ne peut pas factoriser une variable multivaluée, ce 
>> qui est quand même embêtant pour faire du calcul.
>> 
>>>> sqrt(-1) = 0
>>>> i = 0
>>>
>>> sam.
>> 
>> 
> 
> 
> Je vais citer ici le texte de Dieudonné qui figure dans l'introduction 
> au chapitre 9 de son cours fleuve: Elements d'analyse.
> 
> Il est naturellement gênant de ne pas pouvoir définir dans le corps C
> une authentique fonction continue sqrt(z) qui vérifierait la relation
> (sqrt(z))^2 = z. Mais on ne doit certainement pas chercher à résoudre 
> cette difficulté par une violation délibérée de la notion générale 
> d'application qui consisterait à décréter soudainement qu'après tout il 
> existe une telle fonction qui possède pourtant la propriété inhabituelle
> d'avoir pour tout z /= 0 deux valeurs distinctes. Le châtiment de cette 
> attitude ridicule et indécente est immédiat: il est impossible 
> d'utiliser les opérateurs algébriques les plus élémentaires, de façon 
> raisonnable:
> par exemple la relation 2 sqrt(z)=sqrt(z)+sqrt(z) n'est certainement pas 
> vraie car ... le membre de gauche a 2 valeurs et le membre de droite en 
> a 3.

Merci pour cette référence, cela décrit parfaitement le problème 
soulevé dans cette discussion.

> Heureusement il existe une solution à cette difficulté qui...a été 
> découverte par Riemann il y a plus de 200 ans: elle consiste à rétablir 
> l'unicité de la valeur de sqrt(z) en doublant pour ainsi dire le domaine 
> de la variable z de façon que les deux valeurs de sqrt(z) correspondent 
> à deux points au lieu d'un seul - trait de génie s'il en fut jamais, qui 
> est à l'origine de la grande théorie des surfaces de Riemann....

Je n'ai pas compris ce paragraphe, saurais tu l'expliciter plus 
formellement ?